数学の勉強法教えてください

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最近解析概論というのが名著らしいと聞いて500円で古書を手に入れました。
初めは頭から一行一行追っていこうと思ったのですが、実数の連続性を示す4つの定理やら連続の一様性などなど感覚的に分かる様な分からないような定理が、文章がびっしりとページいっぱいに敷き詰められて証明しており、だんだんついていけないようになってきました。

少し飛ばして微分をやって見たんですが、ここでもロルの定理や平均値の定理など当たり前すぎて本当に役に立つのか？と思われるようなこともチマチマと証明がされてて、でも証明についていけない自分にも嫌になってきます。

初心者はこういうのは飛ばして、まずは薄い微積分の本から入った方がいいのでしょうか・・？
数学の勉強をどうやって始めるべきか教えてください。

ちなみに物理系志望です。

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まだ自分ん中に問題意識が全然ないのが問題かな。実数の定義はきちんと解析やろうとしたらどうしても必要だから長々と書いてあんすよ。解析概論はそこの議論を基盤として書かれているから。うっすい教科書読んでたほうがいいと思いますよ。

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僕は杉浦の解析入門で勉強しました。確かに実数の連続性、イプシロンデルタ論
法、平均値の定理などを定義からチマチマしてから使うってのは、役に立つ立た
ないの観点からすると理解できないことかもしれませんね。僕自身はそのへんも
非常に面白いと感じつつ勉強していたのですが、一般的には、物理系に行くんだ
ったら、証明よりも応用に重点をおきつつ勉強すべきだということが言えると思
います。ですから定理の証明よりもそれを使って何ができるのか？ということに
関心を持って勉強していくとよいでしょう。
ただひとつ言っておきますと、薄っぺらい数学の本で勉強した場合、数学の奥
深さ、面白さといったものを感じ取ることは、まあできないでしょう。一回生の
間はあまりひとつの分野に興味を集中させず、幅広く自然科学を学ぶことの楽し
さを知っておくというのも、ひとつのあり方だとは思うのですが。。。

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そうですか。
ではちょっと聞きますが、解析概論から引用して、たとえば
「デデキントの定理とワイエルシュトラウスの定理とユウカイなる単調数列は収束するということと区間縮小法が等価であることを示せ」
と言われた場合、本当に自力で証明できますか？

もっと言うと数の連続性を出発に、厳密さの漏れ一つも無く、微分積分といった本の最後までを一つの体系として、それが頭の中で出来上がっていますか？

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この調子で一行一行本当に納得できたと思えるまでやるとしたら
微分に入る前に大学終わっちゃいそうですよ。。

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>本当に自力で証明できますか？
誰も自力で証明できるなんて言ってないし
できる必要もないと思う。
あと「もっと言うと」以下は何がききたいのかよく分からんのですが
証明を全部丸暗記してる人なんていないし、する意味もないでしょう。
証明しろといわれて考えれば九割方できるでしょうが。

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あんまり自分の尺度で物事を考えない方がいいかも。上に書いてあるようなことは、真面目に数学やってるひとならふつうにできると思うし、私は本見なくてもできるよ。それに、解析概論は理学部で数学やろうと思っているやつなら中学か高校の時に読んで入ってきてますよ...。
　要は、よく分からないものを無理して読むより、自分にあった教科書を読んだ方がいいってことです。

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ごめんなさい。二つうえです。

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＞「デデキントの定理とワイエルシュトラウスの定理とユウカイなる単調数列は収束するということと区間縮小法が等価であることを示せ」
＞と言われた場合、本当に自力で証明できますか？

デデキントの「切断」じゃないの？まあ良いけど。
多分、できると思う。それが本当に理解している、ということ。
ある程度のレベルに来ると、定理の主張を見ただけで、証明の方針の大枠が見えるようになる。
つまり、新たな概念を「感覚」で理解できるようになる。そのレベルまで頑張ることだね。

＞この調子で一行一行本当に納得できたと思えるまでやるとしたら
＞微分に入る前に大学終わっちゃいそうですよ。。
頑張れ。今はできなくても、そのうちできるようになるさ。
実は微積と線型代数が、学部時代の数学で一番難しい科目なんだよ。
今までと発想のギャップが大きすぎるからね。
（そして、微積で一番難しいのが実数・極限論と微分のお話。
それがわかれば、あとはその延長上でいけるから、スピードはぐんとアップするはず）

逆に言うと、２回生以降でやる科目は、その発想の半分近くは
微積と線型代数で得た発想の延長上ぐらいにあるから、しっかり身につけていれば大丈夫。

１回生で微積をマスターできる人なんてそういないさ。
とりあえず通読できたら、ある程度で見切りをつけて、もっと難しいことをやってみるのも手だよ。
そのうち、新たな視点が開けて、より視野が深まるはずだよ。

・・・とかエラソーなこと言ってる俺は実は工学部生だったりする(爆)

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＞それに、解析概論は理学部で数学やろうと思っているやつなら中学か高校の時に読んで入ってきてますよ...。
それは言い過ぎ。そういう人もいると言うだけ。
１は、こういうのを気にせず、人と競い合うよりも、自分の興味に忠実に、マイペースに勉強することをすすめる。

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数学うざいです。やる気がでないです。

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いきなり解析概論を読んでふむふむなるほどと読み進められる人はいいけど、
普通の人間は１のような感想を抱くのではないかなあ。
しかも解析概論は分厚いので、隅々まで理解するには時間がかかりすぎる。
まずは全体的なエッセンスをつかんでから、詳しい本を読んでみると、
その"ココロ"が見えて、数学という学問が何をやりたいのかが分かってくるでしょう。
また、最初に勉強するには高校数学からの接続を意識して書かれている本がいいと思います。

僕のお薦めは
「微分積分１２章」（日本評論社）
「キーポイント線形代数」（岩波書店）
「集合・位相空間要論」（培風館）

３冊とも非常に基礎的で、分かりやすい。
この３冊を通読してから、本格的な教科書で勉強して、その過程で「大学の数学は、どういう点にこだわりたがるのか」という"世界観"みたいなものをつかんでいくといいと思います。
高校数学と同じように定理を覚えて問題練習をして、みたいなやり方でやっていこうとすると、絶対にうまくいきません。
どういう発想をしなければならないかを早いうちに学ぶことが重要だと思います。

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それから、授業などで紹介される教科書の類は、いわゆる古典的な「名著」である場合が多いですが、名著は概して内容が豊富かつ抽象的かつ簡潔に書かれているので、ある程度分かっている人間が読むといい本だけど、初学者が読んでも意味わからんということがままあると思います。
だからあまり先生の言うことや世間の評判に流されることなく、本屋や図書館で探して（というか色んな本を読んでみて）、自分に合った本のタイプを確立することも大事だと思います。

自分で選んで本を読んだ経験がなければ、どういう本がいい本なのかは分からないものです。そうやって色々やっているうちに「ああ、やっぱり"名著"は名著と呼ばれるだけのことはあるなあ」と思えてくるはずです。解析概論も然り。

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物理系の場合は、とりあえず全体の概観をつかんでおいて、物理の勉強をする中で、「ここは完璧に分かっとかなきゃならないなあ」という実感を持ってから、また数学の本を開いて勉強し直すというのもありなのではないでしょうか。

物理をやっていくのに実数の連続性などを正当化する必要もなさげだし。知らなくてもいいということではないんだけど、知識として知っておく程度でもよさそう。
積分の変数変換や行列の固有値問題なんかは物理で頻出だろうけど、「こういったことは数学的な裏付けがきちんとあるのだ」ということを認識しておけばそれでいいのではないかと思う。（それを自分で即座に説明できなくても。）

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上で言ったのは、一行一行理解して進むということの大変さをどれほど把握した上で仰ってるのかを聞きたかったのです。
やはり自力で説明できてこそ本当に理解した状態と言えると思いますから。

どうも「良く分からんものを無理して読むよりも簡単なものを」ということですね。

でも初めの実数の連続とかのうちは数学的センスと言うより国語の問題ですよね・・
注意深く読んでいけば誰にでも分かるはず。だって結果はものすごく簡単なんですから。
散々長い説明のあとに「以上〜により、a<bかつb<cならばa<cである」などと書いてあるときなど、「こんな当たり前のことを示すのに今まで散々やってきたのか？」ってことがありませんか？

あともう一つ気になるのは、実数の連続性は切断と言う作業で、極限操作はイプシロンデルタ論法でそれぞれ示されるのはまぁ良いのですが、
はたしてそれがどうして唯一絶対の表現法と言えるのかと言うことです。

大学数学を何も知らなかった時に「極限の概念を論理記号などを含めた数学記号だけを用いて表現してごらん」
と言われたとします。
はたしてイプシロンデルタ論法による記述をしたのか？
できませんね。
次にイプシロンデルタ論法を教えてもらいます。
そこで「ああこれが正解の方法だな」と納得いきますか？
他のやり方もありそうだと思ってしまっていそうではないですか？

そこのところが書いていないのが気持ち悪いです。
文章の意味が分かりにくかったらすいません。

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>極限の概念を論理記号などを含めた数学記号だけを用いて表現してごらん

極限がイプシロン論法で“定義”されてるんじゃないの？

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定義の何たるかを知らないのでは？
そう決めたからそうなんだよ。

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そうでなくて何故そう決めたのか？がしりたいのでは？

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切断が実数の定義。
イプシロンデルタが極限の定義。

他の方法を考えてもよいと思う。
ただその新しい方法でこれまでの数学の体系をすべて１人で正当化するには１０００年ぐらいかかると思う。誰も「やるな」とは言っていないわけだが。
どうせやるなら、解析概論１行目で既知と仮定されている「数の概念および四則算法」からきちんと正当化した方がよい。
きちんと公理系を構成して、それに矛盾しないように実数や極限を定義できるのであれば、誰も文句は言わないでしょう。

しかし現実には、一大学生にとって数学の体系記述の可能性を模索することは困難に過ぎる。

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むしろ１さんの勘違いしているところは、
「数学は現実世界を記述したものだ」という思い込みではないかと思います。

１さんの書き込みを見る限り、「極限の概念」というものは感覚として存在していて、それを数学が"説明"しているととらえているように見えます。
「極限の概念」などというものは、定義しなければ存在しないのです。
「実数」も定義しなければ存在しません。
実数というものをすでに知っていると思っているところが１回生ならではの過ちなのです。
本当は自然数の存在すらもまったく自明ではないわけで、精密にやるには公理系を作らなければ、世界には何も存在しません。
足し算やかけ算が何を意味しているのかもまったく自明ではないのです。解析の本では、等号や不等号も定義されないまま使われるし、絶対値なども無造作に使われていますが、何を意味するのかは正当化されていません。
しかし、実際にはこういうことは数学の世界では完璧に正当化されているわけで、ただ解析概論に書いてないだけです。

そこまでいくと、「なぜ無矛盾な公理系から構成される数学の体系が、現実感覚にマッチしているのか」という哲学的な問題になるような気がします。

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「ａ＜ｂとは、ｂがａよりも大きいことを意味する。」
と定義したとして、ａやｂが何なのかが分からなければ意味不明です。
仮にａやｂが"数"だとして、"数"に大きい・小さいの区別があることもまったく自明ではありません。そもそも"数"とは何なのかが分かりません。
第一、「大きい」という言葉が何を意味しているのかも分かりません。
そういうことをすべて矛盾なく定義しなければ、何も分からないのです。

数学の世界には、何一つ当たり前のことはないのです。
しかし先人の努力によって、今僕たちの目の前に現れる数学の体系は完全に精密化されていますから、安心して学んでいいのです。

１さんの抱いている不満は、
「どこまでを当たり前としていて、どこから議論をスタートさせているのか」
を見抜かなければならないところから生じているのでしょう。
で、僕のアドバイスとしては、そういうことはある程度勉強を進めないと見えてこないから、しばらく辛抱してやるしかないってことなんです。（まずは簡単な本で概観をつかんだ方がいいと思う。数学に嫌気がさす前に。）

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「＞１ 2003/05/29(木) 01:01:11」は私です。

> 上で言ったのは、一行一行理解して進むということの大変さを
> どれほど把握した上で仰ってるのかを聞きたかったのです。
> やはり自力で説明できてこそ本当に理解した状態と言えると思いますから。
その通りです。そして誰しも、そんな茨の道を通っているんです。
数学を勉強するというのはそれぐらい厳しいことです。
しかし、実りも大きいことです。ぜひ不屈の闘志で頑張ってみて欲しい。
必ずや、知識が身に付くだけでなく、人間的な成長も得られるはずです。

> でも初めの実数の連続とかのうちは数学的センスと言うより国語の問題ですよね・・
> 注意深く読んでいけば誰にでも分かるはず。だって結果はものすごく簡単なんですから。
いや、それを言っちゃ身も蓋もない。数学というのは結局概念の学問なんだから。
それを「誰にでもわかる」と言ってしまえるなら、例えば難解な哲学書だって「誰にでもわかる」。

> 散々長い説明のあとに「以上〜により、a<bかつb<cならばa<cである」などと書いてあるときなど、> 「こんな当たり前のことを示すのに今まで散々やってきたのか？」ってことがありませんか？
いや、それは違うんです。今まで直観に頼ってきた概念を、論理的に厳密に定式化したわけだから、
今度はその定義が直観と一致していることを再度吟味しなければいけない。
その作業を終えてはじめて、あやふやな感覚的理解が、しっかりとした論理的基盤に立った
堅固な概念として構築されたということになるのです。

> あともう一つ気になるのは、実数の連続性は切断と言う作業で、
> 極限操作はイプシロンデルタ論法でそれぞれ示されるのはまぁ良いのですが、
> はたしてそれがどうして唯一絶対の表現法と言えるのかと言うことです。
とりあえず、こんなサイトを挙げておくけど……。
http://www.is.titech.ac.jp/~fuji/memo.html#epsilon-delta
でもね、これを読む前に自力で考えてみて欲しい。
難解極まりない定義も、人間が考えたからには、必ず着想の種がどこかにあるはず。
実際、もし、中学生ぐらいの子供に「極限って何？」って聞かれたら、君はどう説明しますか？
おそらく直観的な言葉に頼るとは思うけれど、なんとか言葉を尽くして説明しようとするはず。
で、その言葉を数学の言葉に翻訳すれば、多分ε-δ論法はすぐ出てきます。

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何だか頭ごなしに否定してしまったようでごめんなさい。
ちょっとムカッと来たでしょうが、お許しを。
お詫びのつもりでもありませんが、少しフォローをしておきましょう。

まず、実数について。
勿論、他にも定式化の方法はあるのではないかという疑問はごもっともだし、実際あります。
でも、それは全て Dedekind の切断と同値になることが示されています。
それはなぜかというと、結局どの定義も、我々の直観を数学の言葉に置き換えただけなので、
結局は同じことを言っているに過ぎないということになってしまうのですよ。

それとね、そういう疑問を持つことは大切ですよ。
論理だけを追えたからといって理解したことにはならない。
数学だって、熱い血潮の流れる人間が苦心惨憺して作り上げた学問です。
論理の背後に隠れた、過去の数学者たちの息吹を感じ取らなくては。
そこにこそ、限りない魅力があるのではないかと、僕なんかは思っています。

あと、そういう疑問を持ったときは、こんなネットなんかで訊くんでなしに、
微積の教官とか、あるいは知り合いの大学院生とか、そういう数学のプロに
遠慮無しに問い質してみるのが良いかもね。
本当に数学を愛している人なら、そのあたりを熱く語ってくれるはずで、
僕らみたいな青二才の意見を聞くより遙かに有益だと思いますよ。

まあ、挫けずに頑張って下さいな。先は長いですよ。

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数学はできないが、証明を見るとそこに個人のオリジナリティーが溢れてるってわかるよね。それは誰でもわかるんじゃないかな？問題の重要性とか証明の難しさとかを度外視して、ただ証明だけ見ると、例えばツォルンの補題はおれにとっちゃ迫力も何も感じない、でも、ラグランジュの乗数法にはおそろしい迫力を感じる、そこから直感が生まれてくるんだと思う。そんな感じで自分の興味がわくところをやっていけばいいんじゃない？パラシュート型学習法よ。

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ところで、解析概論の一章は間違ってるらしいですね・・・

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なんで？

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解析概論500円ってのにびっくり。
俺は2000円くらい出したよ・・・
安い古本屋教えてちょ。

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軽装版だよね？＜５００円　

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＞「数学は現実世界を記述したものだ」という思い込みではないかと思います。

でも、「限りなく」・「近づく」という概念は数学の言葉では一体どう表現できるものかと誰かが考えてできたものがεδ論法なのでしょう？
当然初めに現実世界の感覚ありきなのでは？

＞その言葉を数学の言葉に翻訳すれば、多分ε-δ論法はすぐ出てきます

ということはやはりε-δ論法というものが、極限とは何か？を数学の言葉で説明するやり方としては自然なやり方だということですね。

どうも僕は数学とは一人の天才が常人には理解できないようなやり方で組み立ててきたと思ってました。そしてそれで矛盾が無ければそれで数学が一つ進歩したというふうになってきたのだと。
εδのところで常人には理解できない「ジャンプ」のようなものがあるのではないのですね。

これらの定義づけが自然だと思える日はいつ来るのだろうか・・

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＞↑↑↑

いや古本屋で手に入れたのではないです。
というか新品が2600円ですから2000円は高すぎませんか。

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買ってはいけない(数学編)
http://cheese.2ch.net/math/kako/949/949689973.html

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東京の神田でハードカバー＆ケース付きが600円だった。ちと古い。欲しかったけど持ってたからそのまま。

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＞いや古本屋で手に入れたのではないです。
＞というか新品が2600円ですから2000円は高すぎませんか。

いや、ハードカバーだから今のより高いはず。
物価が違うのでなんとも言えんが。
ちなみに俺のは1966年もので定価1800円。

＞でも、「限りなく」・「近づく」という概念は数学の言葉では一体どう表現でき＞るものかと誰かが考えてできたものがεδ論法なのでしょう？
＞当然初めに現実世界の感覚ありきなのでは？

極限とか無限小といったものが現実世界に存在しないから、いったん有限なものに
置き換えて、それを通して極限を扱う・・・というのが僕の理解の仕方かな。
もちろん感覚として先に存在してるよ。無限小なんてニュートンの時代からあるし、そのはるか昔にアルキメデスが取りつくし方というのをやっている。
それを数学的に定式化しようとしてεδが生まれたんでしょう。

僕達は数学をよく整備された形で学んでいるから、歴史とはまったく逆の順序で学ぶこともある。だからεδが先にありき、と教えられるんじゃないかな？
実数は定義しないと存在しない、といっても所詮後付けでしょ。

ディラックが量子力学で使っていたデルタ関数を数学的に定式化したシュワルツの言葉

「工学屋が長年使ってきて正しい結果を得てきたもので、数学的に定式化できないものはない」

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ディラックって確か電気工学出身だよね。

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ちょっと「スレ違いですまんが」さんに補足。

＞無限小なんてニュートンの時代からあるし、
＞そのはるか昔にアルキメデスが取りつくし方というのをやっている。
無限小の概念は、ライプニッツが持ちだしたんですね。物理なんかに出てくる「線素」「面積要素」とかいう、dn だの dS だのはその名残です。
ただ、どうしてもそれを論理的に正当化できず、「無限小」という概念を陽に用いることを避ける必要が出てきた。それが結局のところ、ε-δ論法なんですね。
ところが20世紀になって、数学基礎論（数学の論理的完備性などを調べる領域）の整備により、無限小の正当化が再び試みられるようになりました。
そして、60年代に見事に成功、これによって微積分学を構築することに成功しました。この体系は「超準解析」と呼ばれています。

あと、「アホの味方」さんへ。

＞そこまでいくと、「なぜ無矛盾な公理系から構成される数学の体系が、現実感覚にマッチしているのか」
＞という哲学的な問題になるような気がします。
数学の公理系が無矛盾であるという証明は一般的には与えられていないはずでは？
いや、私も詳しくは知らないのですが、ゲーデルの不完全性定理なんかを使うと、自然数論の無矛盾性は証明不可という結果が出るとかいう話をきいたことが。

そして、「１」さんへ。

＞εδのところで常人には理解できない「ジャンプ」のようなものがあるのではないのですね。
まあそういっても良いのですが、正確には、それは「コロンブスの卵」なんですね。
わかってしまえば自然そのものなんですが、それを実際に考えつくとなるととても難しいことで、そのあたりはまさに「常人には不可能な『ジャンプ』」に近いものがあると思いますよ。

＞これらの定義づけが自然だと思える日はいつ来るのだろうか・・
いや、そう遠くないですよ。今の心意気を保っていれば、数週間〜数ヶ月で至極当然のものに思えるはず。そうなればもう簡単です。
健闘を祈る。

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さらに脱線ですが。

＞ディラックって確か電気工学出身だよね。
そうですね。実は、工学の世界では、ディラックより先にヘヴィサイドが、δ関数のようなものを考えていたという話をきいたことがあります。
正確に言うと、t が負のとき 0、非負のとき 1 を取る「ヘヴィサイドの単位関数」というのがあるんですが、ヘヴィサイドはこれを平気で「微分」してみせて数学者を呆れさせたそうです。
もしかするとディラックは、そういうのを見聞きしていて、物理学にδ関数を導入することを思いついたのかも知れませんね。

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「限りなく近づく」という日本語でも正確に定義できてると思うよ。別にεδ論法を用いなくてもね。言語には公共性と随意性があるから、「限りなく近づく」という日本語で、誰でも同じことをイメージできる。ただ、一語一語の意味を正確に言えるよう僕らは教育されてるわけじゃなく、今までその言葉を用いてきた経験から推測して判断してしまうから、「限りなく近づく」という日本語を聞いて、（または読んで、）各人に理解のずれが生じてしまうんだと思う。　そういう時って、何かみんなが同じイメージを抱いている（つまり普段からみんながよく使っていて、相互理解がうまくいっている）言葉にわかりやすく言い直すよね。そのわかりやすい（つまり各人同じ理解をする）言い方っていうのがεδ論法なんだと思う。（ここでεδ論法の発生を言っているのではない。）　なんとなくこのスレで、「限りなく近づく」という言葉は正確ではない、という空気が読み取れたので。まあなんにせよ、どんな言葉でも数量か空間にして表せることが出来ればそのほうが扱いやすいってことだよ。あんましこだわる必要ないと思う。
＞１さん
自然だと思えるんじゃなくて、自然だと思うのです。まず受け入れて、自然だと思えるようになってから、もう一度考え直すのです。そうじゃないとコロンブスの卵にすらなりませんよ？コロンブスの卵は、「普通、たまごは立たない」ということを理解しているからこそコロンブスの卵になるんだよ。

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↑
にしても，「限りなく近づく」という言葉は，現代数学(厳密に公理から理論を立てようとする数学)には適さへんのやと思う.
実際に先生に聞いた話なんやけど，始めのうちは(ニュートンのころあたり)，「限りなく近づく」という言葉を使って極限を定義してたらしいけど，次第にミスが出てくるようになったそうです．そこでワイエルストラスがε-δ論法を考え出したそうです．
自分が高校生のころ，"lim{a(n)+b(n)} = lim a(n) + lim b(n)"をどうやって証明するんやろ？とかなり長い間気になってました．しばらくして学校の図書館で，極限をε,δを使って定義する方法を見つけたとき"なるほど"と思いました．
しかし，この方に定義された極限は，本当に自分たちが"感覚的に持っている極限"と完全に一致するかどうかはわかりません．けど，それから多数の"感覚的に真である"定理が証明できるので，その正当性はともかく現代ではそれを採用しているというだけなんやと思う．

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＞抽象化得意な理学部生
＞「限りなく近づく」という日本語でも正確に定義できてると思うよ。
＞「限りなく近づく」という日本語で、誰でも同じことをイメージできる。
＞「限りなく近づく」という日本語を聞いて、（または読んで、）各人に理解のずれが生じてしまうんだと思う。
矛盾してるぜｗ

＞理1回生
＞しかし，この方に定義された極限は，本当に自分たちが"感覚的に持っている極限"と完全に一致するかどうかはわかりません．
「感覚的に持っている極限」って、「完全に一致」なんてものが考えられるほど厳格に決まっているんか？だったら
＞「限りなく近づく」という言葉を使って極限を定義してたらしいけど，次第にミスが出てくるようになったそうです．そこでワイエルストラスがε-δ論法を考え出したそうです．
なんてことも起こるはずないわなｗ

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うーん。
僕の場合、上にも書いたけど、「数学は、現実世界を記述する目的で定式化された体系である」という感覚は既にかなり薄れている。
数学という体系が存在するための要請として、もはや現実世界の存在は必要でないように思う。

元来は、既に感覚的に分かっていることを矛盾なく定式化するために色々と考え出されたのは紛れもない事実だろうけど、しかし２０世紀になってから、現実的感覚を一切必要としないように整備されたと思う。

そう思った方が数学は分かりやすい気がする。

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>実は、工学の世界では、ディラックより先にヘヴィサイドが、δ関数のようなものを考えていたという話をきいたことがあります。

ヘビサイドも電気屋さんですね。
常微分方程式を演算子法で解くのにデルタ関数使ってました。

＞元来は、既に感覚的に分かっていることを矛盾なく定式化するために色々と考え出されたのは紛れもない事実だろうけど、しかし２０世紀になってから、現実的感覚を一切必要としないように整備されたと思う。
＞そう思った方が数学は分かりやすい気がする。

どう思ったほうが分かりやすいかは人それぞれですね。
僕は工学部だから応用と一緒に考えた方が楽しい。

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＞しかし２０世紀になってから、現実的感覚を一切必要としないように整備されたと思う。
うーん、そうなんだろうか・・・。形式的にはそうなのかもしれませんけど、やっぱり問題は現実（自然科学とか）絡みで出てくるものが多いわけですし。
やっぱり、私としては

＞僕は工学部だから応用と一緒に考えた方が楽しい。
という方が納得行きますねえ。学問に限らず、芸術なんかの好みでも、ヨーロッパのものなら古典が好きなアンチ・モダニストだから・・・。
数学でも、どうしても解析とか幾何が興味の中心になりますね。数論とか代数幾何とか複素多様体とか、応用との縁が薄そうな分野には余り食指が動かないです。

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＞数論とか代数幾何
僕は完全にこっち寄りの人間です・・・。多分、代数寄りの嗜好のせいで、現実的イメージのまったくわかない抽象論に汚染されているんでしょうね。（僕にとってはそっちの方が分かりやすいわけで・・・。）

やっぱり解析とかの分野では、物理で出てくる微分方程式の解構造を知るために発展してきたような要素も強いんですかね。（しかしそれは僕からすれば数学ではなくて物理ですが。）

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>傍観者(↑×4)
>>しかし，この方に定義された極限は，本当に自分たちが"感覚的に持っている極限"と完全に一致するかどうかはわかりません．
>「感覚的に持っている極限」って、「完全に一致」なんてものが考えられるほど厳格に決まっているんか？
言葉足らずでした．
「ε-δ論法を用いて定義された極限の中で，われわれの感覚では，どうしても極限だとは思えないようなものも含まれているかどうかはわからない．」ということです．

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＞傍観者
傍観者さんがいい例でした(笑）矛盾してるって思う人もいれば納得する人もいる。全員納得する書き方がεδ論法でしょ。

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＞やっぱり解析とかの分野では、物理で出てくる微分方程式の解構造を知るために発展してきたような要素も強いんですかね。
うーん、実は微分方程式についてはよく知らないんです（＾＾；
（線型）常微分方程式の理論は完成してるし（力学系ってのもありますけど、あれは解析ですか？どっちかって言うと幾何ですよね）、
偏微分方程式とかいっても、それ以前にまだ測度論でつまづいてるレベルなんで(苦笑)
むしろ、物理学と数学の接点という意味では、最近は幾何学の方が圧倒的に強いのではないですか？
物理では、座標変換をすると計算が煩雑になることが多いから、多様体とか微分形式の概念を入れるだけでも随分楽になりますよね。
私の興味はどっちかっていうとそちらの方がむしろ近いですね。

まあ、工学部なんで物理のことはあまりよく知らないんですけど・・・。
ただ、物理でも工学でもあるいは統計でも、最近はかなり高度な数学を使いますよ。
特に最近のトレンドは、微分幾何と確率過程と力学系といったあたりみたいですけど。
制御理論なんか、Ｌｉｅ群とか関数解析を平気で使ってくるみたいです。

私の興味としては、対象は実は何でもよくて、とにかく現実と接点のある何かの理論を扱いたい。
ちょっといじくる（さっき言った座標変換とか）とものすごく見通しが悪くなる理論ってのがあるわけで、
それを見通しよくするために理論構造をきちんと定式化して整理できたら良いなあとか漠然と考えてます。

＞（しかしそれは僕からすれば数学ではなくて物理ですが。）
あー、私にとっては、自分がやってることより抽象的な数学はちょっとごめんです。
特に選択公理うんぬんとか、勝手にやっとれって気になりますね(笑)

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高度な数学を工学で使うかどうかではなくて、
そういった数学が工学などの現実的要請から発生したものなのか、ということが話の主題だったと思いますが。

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ああ、そうでしたね。ついうっかり自分の興味を語ってしまった。失敬・・・。

でまあ、ご質問の件に関してですが、「発生」という言葉の定義によってなんとでも言えるんじゃないかな？というのが私の答えですが。
どのあたりまでを「数学」の範囲に含めるか、ということも込みでね。
例えば、一般相対論がなければ、今日のような幾何学の隆盛はなかったというのは大袈裟にしても、
少なくともその方向性は大分狭められていただろうというのは想像に難くないですね。
それに、今時殆どどの分野にも、近くに応用範囲があるわけで（先程例に挙げた数論とか代数幾何も、暗号理論などに利用されてます）、
そういうことを考えると、応用と関係なく全く数学だけで発達してきた分野ってないんじゃないですかね。

もっと言えば、数学だって人間がやることなんだから、その時代時代の人間の興味範囲に大きく左右されるわけで、
現実的要請と無関係に発生する訳がないとも言えますよね。
そもそも、ちょっと前までは数学者と物理学者の区別なんてなかったわけだし。

ですから、ちょっと何がおっしゃりたいのかよくわからないというのが正直なところですが。

まあ、でも通り一遍の答えを言えば、解析学の創始者は（狭い意味では）ニュートンですし、
それ以降、微分方程式、フーリエ解析、関数解析・・・と、全て背景に物理学がありますよね。
この流れは現在も続いていると言えるのでは？

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物理学の影響を受けながら数学は発展し、逆に独自にも発展しているということですな。
じゃー数学やっていくのに物理学の知識が必要なのかー。。いやだなぁ。具体的ないわゆる関数を微分したり積分したりが必要ってことか。。ああいうの大嫌いだから数学に来たのになぁ。

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＞この流れは現在も続いている
なるほど。やはりそうなんですかね。

上の方のレスを見ると
＞しかし２０世紀になってから、現実的感覚を一切必要としないように整備されたと思う。

＞うーん、そうなんだろうか・・・。形式的にはそうなのかもしれませんけど、やっぱり問題は現実（自然科学とか）絡みで出てくるものが多いわけですし。

というやりとりがあります。
読み返したら、ここで話はまとまってましたね。
形式的には数学だけで独立できるが、それでは面白くないと。
まあ、何を面白いと感じるかは人それぞれということで。
「自分のやっている数学が将来何かの分野に応用されることがあったら屈辱だ」みたいなことを言っている生粋の純数学者もいるようですしね。

＞ああいうの大嫌いだから数学
それは心配しなくても大丈夫だと思いますよ。上にもある通り、原則として数学だけで完結できると思います。

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原則として、ですね＾＾　いやはやしかし、不得意分野までやらされていた高校の時に比べれば、好きな勉強をたくさんできる大学っていいよねー

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＞＞ああいうの大嫌いだから数学
＞それは心配しなくても大丈夫だと思いますよ。上にもある通り、原則として数学だけで完結できると思います。

数学科といえども数学しかやらないわけじゃないですよね？
例えば確率論を量子力学と一緒にやったりとか。
みなさんは数学以外にどんなことやってますか？

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人にもよるんじゃないかな。ただ、数学のみスペシャライズドされている人も多数おりますが。

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＞数学科といえども数学しかやらないわけじゃないですよね

どうなのかなあ。
僕が無知なだけかも知れないけど、
数学の本に書いてあることは、"原則として"数学だけですよね。
量子力学をまったく知らずに確率論だけやりたければ、それも可能なはずですね。
（そのことを僕は言っているわけで。）
それが楽しいなら、それでいいのではないでしょうか。
「こんなことやって何が嬉しいんだ」といった気分になってしまう人は、
物理も併せて学べばいいわけで。

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なんでεデルタを物理学科でやる？？
受験のときのリミット無限大の記号で物理のための数学の理解には事足りるし、たいていの教科書はそうじゃないかな。特に最近は。

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>数学の本に書いてあることは、"原則として"数学だけですよね。
>量子力学をまったく知らずに確率論だけやりたければ、それも可能なはずですね。

それはもちろんそうです。
物理も一緒にやると数学を違う視点から見れて
またおもしろいのではないかと思ったんですが、アホの味方さんのように
代数よりの人はむしろそれを避ける(？)みたいですね。

＞受験のときのリミット無限大の記号で物理のための数学の理解には事足りるし

工学部だけど、事足りないよ。

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地学の俺にはε-δなんて遠い世界だったけどね。

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まあ、確かに数学が物理系にどの程度必要なのかは分野によりけりでしょうけどね…。でも、理学部生の教養としてまともな数学をやってみるのも悪くないかな・・・と。自分は根性で何とか杉浦光夫の「解析入門」の・・・1巻だけ・・・を読みきった（正確に言うと「目を通した」だけど。演習問題は解いてないし、理解できてない所は山盛りだし。）のですが、きちんと定義から始めて、その定義だけから厳密に様々なことを導いていく、という意味で数学の考え方の過程を味わえたと思います。そうした、数学を「味わう」意味でも（理学部生だし）大学生の間に1冊くらいゴツイ数学書（教科書）を詠んでみるのもいいかなと思うのですが。ちなみに、実際に愛読しているのは丸善のパリティ物理コースから出ている「物理数学」ですｗ。薄いし読みやすいｗ。

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数学好きやけどいろんなことしたくて総人にはいったんすけど、今んとこの目標は数理研(RIMSの方がカッコええか...)入ることでして。やっぱあっこに入るのんてムズイんですか？あとRIMSに限らず院て学費どれくらいなんすか？ちなみに今の数学の勉強スタンスは、微積とかもやってるけど、論理学が面白くて集合論周辺もかじってるとゆうふうに、好き勝手やってるって感じです。別に悩んでることは無いんすけどなんかアドバイスあったらいただきたいです。

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数理研はムズイです。間違いなく。
毎回5〜10人位かな？院生採用者は。
総人からとか関係なく、入るにはかなりの努力が必要だと思います。

集合論とか微積ってことは一回生かな？頑張ってください。

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談話室の別んトコで、日本の大学院よりもアメリカの一流大学院の方が色んな面で断然いいって書いてました(そらものすごい努力が必要でしょうけど)。でも数学でいうと必ずしもそうとは限らないですよね？数理研は世界レベルの研究所やって聞いたことあるし、本にも書いてあったし。

ちなみに一回生デス。で誰か、マジで院の学費どんくらいか知らないすか？まだ早いけど、なんかやたら気になります(笑)。

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>ヒマ総な人
学部生と変わらんでしょ。
年々あがってくけど。
数理研は違うのかな？

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数理研は近くにあるのだから気になるのだったら聞いて来たらいいでしょう。僕知らないし。

後、なんつーか、数学系には数理研に入りたくて猛勉強している人が沢山いるので、何も知らない他所の学部の一回生が、「世界トップレベル」とか「アメリカの一流大学」とかのDQNワードを書き込んでいると腹立たしいと思う人もいます。

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「世界トップレベル」→「世界レベル」

別に君を否定する気は無いので余り気にしないで下さい。
すんません。

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自分でヒマ総とかいうのやめような。
ちゃんと勉強しだしたらそんなこといってられんし。

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>腹立たしいと思う人もいます。
そんなことで腹立てる人っているの？やっぱおるんかな〜。なんか心が狭いってゆうか、やな感じ。

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>別の総人生
いや、総人って「ヒマ総人」てよく言われてるから(←といってもオレはそうは思わんけど。ヒマっつうのは他学部に比べて専門色が薄い(？)から自分のやりたいことが自由にやりやすいってことなのではと。)趣味で付けてみただけっす。まあ快く思わない人もいるだろうからもう控えますが。

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アメリカの一流大学はなんちゃらで〜ｗｗ

とか書いて何故かいい気になっている低俗アホが最近よく出没してるから
余計そうなんでしょう。

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＞ヒマ総な人
数理研におるけど、大して数学専攻のAコースと変わらんと思うんやけど・・・
今年はいっぱいとったみたいやし。
それに分野偏ってるし、1回生ならあんま気にしなくていいんちゃう？
とりあえず学費は学部のときと変わりません（確か）
数理研って言うけど、単に理学科数学・数理解析専攻、数理解析系なだけやから、他の院と変わりません。

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このスレの趣旨：「現代数学の独特の（というと語弊かも知れませんが）考え方がどうも掴みきれずつまづいてしまう。そこで数学を勉強してる方々は、初学者の頃、どのように勉強していったのか、上記のつまづきを経験したことのある人はどのように克服していったのか。それぞれ思うところを書いていく。」という感じだと思います。

ボクもそのようにつまづいている人間の１人なのですが、改めて皆さんはどう感じていますか。これまでのレスでもたくさん議論されてますが、まあ結構時間もたってることですし、いろんな人の意見を聞かせてもらいたいと思ってageました。

上の方に書いてますが、大学で勉強する数学で、「微分積分学」と「線形代数学」がある意味で最も難しいという意見があります。それは恐らく、高校までの、直観による数学から、論理的に厳密な定義に基づいた推論による数学への飛躍によるためだと思います。逆に言うと、そういうことに慣れる（というかそういう考え方を身に付ける）と、その先に続く解析学や代数学などは、この意味でのつまづきを経験するのはほとんどなくなるのでしょうか。

と、まあボクの疑問も含め長々と書いてしまいましたが、みなさんどうでしょうか。

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上の方で「某工学部生」という名前で書いたものです。
もう院生になってしまったので、この名前は使えないのですが(笑)

＞逆に言うと、そういうことに慣れる（というかそういう考え方を身に付ける）と、その先に続く解析学や代数学などは、この意味でのつまづきを経験するのはほとんどなくなるのでしょうか。
ある意味ではそうですね。
ただし、やっぱり「現代数学」にも色々な転換点があるわけで、それぞれ色々な物を抱えているのも事実だと思います。
例えば、カントルの集合論を頑として受け容れない立場（直観論理など）もあるわけで、そういうところは意外と無視できない深刻な問題を孕んでいる気もします。

興味があれば、岩波文庫から出ているポアンカレの著作でも読んでみては？つい百年足らずでどれほどのパラダイム転換があったかわかって愕然とするかも知れませんよ。

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僕は確か合格発表の帰りに（あれ？入試の時か・・・）古本屋で
「群・環・体・代数系」かそんなタイトルのうすーい本を買ったのですが、
（今は誰かにあげたのでないのですが・・・日本評論社？廣瀬なんちゃら？）
それを軽い気持ちで読んだことは、抽象代数の理解に大きく貢献したとと
今から振り返ると思います。
あとは1回生のときに受けた「対称性の数理（今はない）」
で群の表現についてかなり必死に勉強したのも良かったと思います。
微分積分方面はよく覚えてません、結構すぐ理解できたからかな・・・？

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広瀬健の本ですよね。薄い本ですよね。
基礎論の大家ですよ。今は故人です。
基礎論の人らしく、メタな立場からの解説が得意ですね

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↑
あ、そんな名前だった気がします。
積が写像ということが納得できたのが、抽象数学への開眼かな、と
今から振り返ると思います。

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論理主義、直観主義、公理主義の3流派ですね。
基礎論的な見方ですね。
メタ的ですよ

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僕は１回生の頃は方程式を解くのが楽しくて物理数学ばっかりやっていました。工学部なので授業もそういうのが多くて。
そんなわけで初めて位相や群に手をつけたときは相当苦戦しました。北部人さんも書いているように数学的対象を集合とその間の写像と思うこと、それと剰余・同型・双対といった“異なるものを同じとみなす”概念に慣れてしまうと後は随分楽になりました。

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ほとんどの工学系は解析学を多用するので、抽象代数には慣れていない工学部生多いよ。
基礎論の立場からは、解析学も抽象代数も同様に、記号的に扱える。やはり、基礎論がメタが学問であるがゆえに、、

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１．京大っていいねえ。「遥かなるケンブリッジ」読んだら、すぐに感想を述べたり、趣味でもいいから数学書を勉強できる環境だもん。理学部学生にケンブリッジやプリンストンの数学科について、いろいろ教えてもらうことも可能だろう。
２．東京で私が知る限り、そこそこ反応が良かったのは（社会科学系だが）スタンフォードや一橋出身の方々ぐらいでした。ほかは無関心層。東大にも聞けば良かったがコネ＝アクセス手段がない。

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全く意味が不明。文脈が全然繋がってない。このスレッドのどこに反応してるわけ？

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１．いいよ、浅田彰さんや他の有能な卒業生に分かってもらってるからさ。バカは相手にしてません。センター７５０以上の京大蹴りで恐縮ですが、全般的に京大理学部は好イメージです。悪しからず。

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はいはい、あんたがどんだけ偉い人かはよくわかりました。
どうせバカですよ。相手にしてくれなくて良いから、来ないで。
ここは「数学の勉強法」を語るところだから。
あんたのご大層な自説の御開陳はどっか別のところでやって頂戴。

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恥ずかしすぎる。なんだこの低級妖怪は。

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日和見の君よりはマシ

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代数、解析、幾何、基礎論、確率、、、、
数学を使う立場で数学の全分野を学ぶためには、最近出てるシリーズもので、数学の考え方（朝倉）、21世紀の数学（共立）なんかがサーベイには適してるように思える

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良スレが、「批評空間の読者」のせいで…。

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↑そうだよね。
ここでは、数学屋及び数学を利用する人々の間での議論により数学をうまく勉強できる方法などを語る場。
数学屋と利用屋から議論すると楽しいのに、、

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さらに広げると、文系の人々にも議論に参加してもらえるといいけど、、経済なんて数学いるだろうし、、
利用屋の層が広いと数学屋にも有益かもしれんし

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そうだなあ。次スレは相談板にでも移設するか？

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１．私は数学屋でも利用屋でもない趣味屋かな。
２．素朴な質問で恐縮ですが、ワイルズ教授の解法というか証明法とフェルマーの考えてた証明法は同じなんですか？違うとしたらフェルマーの方を知りたい私。これも恥ずかしい質問だがバカ丸出しの素人だからできる質問だな。数学屋は内心質問したくても同調圧力や見栄に防御されて質問できないでしょ？
３．同じように恥ずかしい質問。代数的整数論、ディオファントス近似、保型関数論、アーベル多様体・関数、代数群、解析数論のうち、どれが一番将来性があるのですか？ちょっと気になって仕方ない。
４．私のように普通の文系人間を引き付ける強い磁場が働く京都大。アホでもバカでもとにかく数学ファンのすそ野が広がることはいいことだ、きっと。日本数学水準の底上げにつながるよ。何年か前に大学生の数学力低下が問題になったしさ。

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＞ワイルズ教授の解法というか証明法とフェルマーの考えてた証明法は同じなんですか？

それに答えられるようなら300年も苦労してないｗ

＞どれが一番将来性があるのですか？

それらの分野の内容を本当に知っているのなら自分で答えは分かるだろ。数学の将来性なんて考えること自体がちょっと違うと思うけどね。

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批評空間の読者さんの上の方の発言は意味不明というか流れを止めてるし、
何を言いたいのかが分かりづらい。
単に数学的知的好奇心をくすぐる議論ができるって言うお褒めの言葉なのかな。

で上の質問ですが
２．
まずそういう文献が出てこない限りフェルマーの考えていた証明法は分からないかと。
というか有名な話ですが、「解けたけど〜」って書いてるだけで
本当に解けてるかは微妙。
ワイルズの理論を見れば分かる（？）ようにすごいナイーブな問題を
含んでいるので、当時の初等整数論的考えでは解けないのでは、
というのが大方の見方だと思います。
３．
将来性と言うか、どれもまだまだ完成されてない話ですよね。
物理じゃないんで数学は問題が解けたら倍問題が出てくるという感じで。
でも質問の意味が違うのかなぁ、うーん、フェルマー予想と同じように
有名かつ初等的にかける一般人から見て大きいと思われる問題に大しての将来性？？
それは正直分かりません。
まぁまだ新しい分野ほどこれから大きな進歩が望める可能性が高いのは確かだと思います。
でも全体的にまだまだ分からないことはいっぱいありますよ。

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ワイルズの理論は最新の代数テクを使っているところがすばらしい

ヒルベルトの予想はくずれたり

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利用する側から参加させていただきます。

まあ、（多くの）文系人間にとっては数学なんて勉強したくないわけです。
それで、必要に迫られて、というパターンが多くなります。

そこで質問です。とりあえず、微分積分と線形代数をやらなければ話になりません。現実的方法として２つ考えられるかと思います。

１つは、難波さんが出してる１２章あたりをやってとりあえず使えるようになる。その上で、より厳密な本（微積なら小林先生の本（ショウカボウ）、線形代数なら笠原先生か佐武先生（共立の方）の本）をやる、という方法。

もう１つは、微積はラング、線形代数は松坂先生（もうすぐ復刊）をやる、という方法。

時間と好みに依存するので、どちらが望ましいかは一概に言えないだろうと思います。ただ、差し当たり２つの方法が考えられることについて異論はないだろうと思います。ということで、２つの方法のメリット・デメリット、あるいは、より望ましい本がありましたら書き込みお願いします。

最近は経済でもルベーグ積分をやる必要があります（確率をよく使うので）。もちろん分野にもよりますが。

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経済学者が書いている経済数学の本では
だめなんですか？>経済人さん

経済学に使われる部分を選んであるから
必要に迫られて応急処置的に勉強する分には
いいと思うんですけど

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＞もう１つは、微積はラング、線形代数は松坂先生（もうすぐ復刊）をやる、という方法。
まったく問題ないと思う。だけど、そのレベルで読む前に本を選ぶのはナンセンス。図書館で借りて少し読んでみて気に入ったら買うとかぐらいしてもいいけど、読み始めたらよほどのことがない限りある程度のところまで読まないとだめだよ。

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米パデュー大学の6月8日の発表によると、
同大学の数学者が数学上の未解決問題であるリーマン予想を証明したと宣言した。

ルイス・デ・ブランジェス・デ・ボルシア教授は、同大学のWebページに
証明の過程を記した23ページの論文を掲載。ほかの数学者に向けてピアレビューを呼び掛けている。

こうした発表は正式な学会の場や学会誌で行うのが通例だが、
クレイ数学研究所が2001年にリーマン予想を最初に証明する人物に100万ドルの賞金を提供すると
発表しており、Webサイトで一足先に公表する運びとなった。

リーマン予想とは、ゼータ関数を複素数に拡張した、素数の本質に関する非常に複雑な理論。
1859年に発表されて以来、150年近くもの間、正否をめぐって数学者を悩ませている。

ボルシア氏はBieberbach予想を約20年前に解いたことで知られる人物。

http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20040610-00000011-zdn_n-sci

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松坂和夫の集合論と戸田山和久の論理学を一通り終えて、それでも物足りなくて基礎論をもう少し勉強しようと思う理学部数学科の学部生なんですけど、なにかいい文献をご存じのかたいらっしゃいませんか？できれば日本語で、無理なら英語でもかまわないんで、これという文献を知ってる方があれば、どうかその情報をよろしくおねがいします。

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の中の数理論理学では

　mathematical logic joseph r. shoenfield
ASL

が名著です

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日本語では、最近復刊された松本和夫の数理論理学（共立）がいいよ

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なかなか１００件目のレス来ないなぁ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………あああああああああああああああああああああああああああ嗚呼ぁあああぁぁああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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