無限の定義

---

なんかよくわかんないんですが、どういう意味なんでしょうか？

The limit that a function "f" is said to approach at x = a, when f(x) is larger than any preassigned number for all x sufficiently near a.

---

無限じゃなくて関数の極限の話じゃないかと突っ込んでみる。

---

英文おかしくない？

---

おかしいですよね？ネットの英英辞書そのままなんですけど…。

---

The limit that a function "f" is said to approach at x = a, when f(x) is larger than any preassigned number for all x sufficiently near a.

てのを、そのままgoogleにかけてみたら、
dictionary.comというのにあたって、そこでの
infiniteの定義だった。だから、上の表現は
全体で1語であり、別に問題はない。
(スレタイの意味も理解できた。)

でもこの場合は、無限より
無限大(+∞)というべきだろうけど。

で、無限大を入れて、上の表現を意訳すると、
無限大というのは、
関数f(x)とある点x=aを考えたときに、
x=aに十分近いならば、f(x)の値が
任意の数よりも大きくなるようなときの、
f(x)のx=aの極限
のことをいうんだよ。

ってことになるのだろうか。

---

んーむ・・・。なんでそういうややこしいことをせなあかんのだろうか・・・。

結局、無限大という言葉についてのみ考えたら、
「任意の数よりも大きい数」とだけ言えばいいわけで、わざわざ関数の話をしなくてもいいのに。

---

もし任意に与えられた数に対して
十分aに近いxをとってくればf(x)がそれを超えるならば、
関数fはx=aにおいて無限大に近づくという

というような意味ですかね。でも、数学的には問題あり。

>「任意の数よりも大きい数」とだけ言えばいいわけで
無限は数ではないので「任意の数よりも大きい数」はまずいと思う。
むしろ無限をちゃんと定義しようという試みとみるべきでは。

---

確かにこれは dictionary.com に"infinity"と入れて検索した結果出てきた定義です。
結局これは

lim f(x)＝＋∞
x→a

という状況をいっているんでしょうか？
aに十分近い x1<x2<x3<…<a を考えて、
f(x1)<f(x2)<f(x3)…ならば、lim f(a)→＋∞
といってるような。これじゃただの単調増加関数ですよね。それと、変数自体と変数を関数に代入した値とを比べているような、よくわからない感じがするんですが…。

---

まずはソースを出せ。話はそれからだ。

---

>結局、無限大という言葉についてのみ考えたら、
>「任意の数よりも大きい数」とだけ言えばいいわけで、
>わざわざ関数の話をしなくてもいいのに。

上でこう書いた者です。
「数ではない」という突込みをいれられてしまったのだけど、それならば、「任意の数よりも大きいもの」とでもしてしまえば良いかと（笑）

なんかね、関数とか極限とか、そういう話を出すから、↑*2みたいに、なんのこっちゃわかってくれない人がでてくるんだよ。日本語訳は↑*5のなんかさんのもので良いと思う。でも見てのとおり日本語的によくわからん状態になってる。

>無限大というのは、
>関数f(x)とある点x=aを考えたときに、
>x=aに十分近いならば、f(x)の値が
>任意の数よりも大きくなるようなときの、
>f(x)のx=aの極限
>のことをいうんだよ。

とあるわけだけど、これをこのようにしてみる。

>無限大というのは、
>関数f(x)とある点x=aを考えたときに、
>x=aに十分近いならば、f(x)が無限大になるときの、
>f(x)のx=aの極限
>のことをいうんだよ。

わりとすんなりと読める文章になったと思う。
つまり、関数とか極限とかぐちゃぐちゃ言ってる部分ってのは何の説明にもなっていない。はっきりいって無駄。

結局この、「任意の数よりも大きくなる」という部分が無限大の定義たるものであって、その他はごみなんだよね。

まあ、「試み」としてはこういうのもアリかもしれないけど、失敗なんじゃない？これは。

---

>無限大というのは、
>関数f(x)とある点x=aを考えたときに、
>x=aに十分近いならば、f(x)が無限大になるときの、
>f(x)のx=aの極限
>のことをいうんだよ。
はやっぱり「無限大」の定義になってへん。
すでにその説明で「無限大」という言葉が使われてるから。
確かに感覚的に無限大というのは何となくわかるかもしらへんけど、言葉で厳密に表そうとすると「どんな数よりも大きくなるfの「状態」」と考えた方が定義しやすいんかもね。

---

数学で「無限」とは、って定義しないですよね。
まあ、アレクサンドロフの無限遠点とかありますが、
上の人の発言の中にもあるように数学で無限を考える時は
多くの場合「無限」と呼びうる「状態」が対象となっていると思うのです。
前出の英文がよく分からないのはその辺に原因があるのではないでしょうか？

ついでにいうと、
上のほうの「たぶん」で書いたのは好意的な解釈で、
問題の英文を普通に解釈すると
上に書いたf(x)→+∞ as x→a　ではなくて
∃{x_n} s.t. x_n→a & f(x_n)→+∞ as n→∞
になると思います。
どうでもいいかもしれませんが。

---

僕だけわかってないみたいだなぁ…。f(x)がx=aに近いてのがどうも。x座標上の点aに向かって、関数f(x)が飛行機が着陸するみたいに近づいていくってわけではないんでしょう？それだと話がわかんないのに、この英文からはそういうイメージしか浮かばない…。

ただ、無限大のイメージそのものは皆さんがお持ちのものときっと同じで、それを生かして英文を読むと内容に無駄が多そうだというご指摘も理解できました。

しかし、大学の数学でも∞を厳密には定義しないんですね。もっと理系の人とお話したいです。

---

ある関数f(x)においてxをaに近づけることによってf(x)を任意の数よりも大きくすることができる。このときｆ(a)を無限とする

というのでどうでしょうか。関数の極限という概念をつかって無限を定義しようとしていると思われます。

---

> しかし、大学の数学でも∞を厳密には定義しないんですね。もっと理系の人とお話したいです。
そういうわけではなくて……。
∞を「数」として定義するとおかしなことになるんですよ。
例えば、どんな実数 a に対しても、a - a = 0 ですよね。
だから、ここから類推すると、∞ - ∞ = 0 ですが、
「自然数全体」から「偶数全体」を除いたもの
（つまり「奇数全体」）も無限個ありますよね？

そういうわけで、∞を「量」を表す数として使うことには無理があるんです。

ただし、「順番」を表す数として扱うのであれば、
全くできないことはありません。
これは「順序数」という概念として扱われているので、
興味があれば調べてみてはいかがでしょうか。
ただし、その場合も、「無限」として扱われる数は
無限個あって、「無限」とはこれだと一つに決めることは
できないので要注意。

まあ、無限と言っても色々あるんですよ。
興味があれば、ブルーバックスの
　竹内外史「集合とはなにか」
でも読んでみてください。結構難しいけど、間違いなくいい本ですよ。
（ブルーバックスの）

---

たぶん、“∞”の厳密な定義は必要ないんとちゃうかな？
上にも書いたけど（2003/08/11(月) 21:24:45）無限大というのは数やのうて状態なんやから。
一番最初の英文みたいに、「いくらでも大きくなる」という「状態」が「無限大に“発散する”」の定義なんで、なんべんも言うようやけど「無限大」という数（実数）は存在しない、と言うことです。
確かに、カケルさんのように「無限大という数を新たに定義する」というのも一案やと思うけどね。

---

まちごた・・・
“↑”は“↑↑”の間違いです

---

ってか挟んでるん気づかんかった・・・
“↑ 2003/08/12(火) 01:22:55”
は
“経済２回生”さんへのレスです。

---

追記です。

＞まあ、アレクサンドロフの無限遠点とかありますが、
これはリーマン球面なんかにでてくる奴と同じでしょうか？
（つまり立体射影による一点コンパクト化）

だとすると、これは位相的には無限大が入っていますけど、
順序関係は壊れてしまいますよね……。
負の無限大と正の無限大を同一視するわけですから。

まあ、だからこそ、順序が入っていない複素平面上では、
リーマン球面で無限遠点を入れることに抵抗がないのでしょうけどね。

---

経済２回さんがどういう理由で無限に関する知識が必要なのかを知りたいです。というのは、分野によって無限の位置付けが違うように思います。(僕が不勉強だからそう思うのかもしれませんが)

実函数(実軸上)では極限を用いて無限を定義するのがよいと思います。このときは +∞ と -∞ は区別されます。

複素数では、大きさが定義されていないので + と - は区別されません。実函数の時は勝手に議論に顔を出してきた∞は、複素函数論では、複素平面上で「今から∞を加えるよ」と断ったうえでこれを"拡張された複素平面"と呼んで特別扱いします。これは多様体をかじるとよく分かるかもしれません。
集合論では無限をある観点から分類したりして、また一味違った様相を見せてくれます。

---

このスレを見た大部分の文系の人々は
「あー、よかった理系に行かなくて…」
と、痛切に感じるのであった。

めでたしめでたし（笑）

---

「ああよかった、数学屋にならなくて」
と思ってたり・・・

---

>＞まあ、アレクサンドロフの無限遠点とかありますが、
>これはリーマン球面なんかにでてくる奴と同じでしょうか？
ええ、普通の一点コンパクト化のつもりでした。
確かにRでやると円周になってしまって順序が入りません。
実数でやるなら二点付け加えるのが普通でしょうね。
物工3回氏のいう「極限を用いて・・・」と同じことですが。

---

> 経済２回さんがどういう理由で無限に関する知識が必要なのかを知りたいです。

数学の勉強をしていてこの疑問につきあたったのではなくて、大学院留学をしたいので英語を勉強していて「無限」が出てきたんですよ。ただ経済をやる上で数学は避けて通れないようなので、どういう理由でと言われれば経済学を勉強する上で、ということになると思います。

大学に入ってから色々調べてきたんですが、マクロ経済学でもミクロ経済学でもゲーム理論でも、そこでメインに使うのは数学による「最適化」の手法のようですね。多変数関数の解析と微分方程式（差分方程式？）ができる必要があって、その他にも均衡の存在を証明するためとかで？不動点定理とか、包連線定理とか、鞍点定理とか、コンパクト性とか、ヤコービアンとか、ハミルトニアンってのも知ってなきゃいけないみたいなんですが…、正直何のことだかまだわかんないし、どの分野のどの授業で扱われるのかもわかんないんです。離散数学とか位相数学とかってだいたい何のことなのかとか、教えていただけるとありがたいです。あと確率もですね。

経済の院生さんとかに聞くのが筋なんでしょうが、ある経済の話題だけを理解するためだけに部分的に数学を勉強しちゃうと、その後つぶしが利かないんじゃないかという気がするので…。何をどうしたいために数学は何を考えているのか、数学の全体像を見下ろせる理系のみなさんにお聞きしたいです。

---

経済って大変なんですね。
多変数函数の解析や、経済２回さんが挙げた定理が出てくると言えば

微分積分学
線型代数学
ベクトル解析
常微分方程式論
変分原理
函数解析
集合・位相

あたりかなあ。
しかし函数解析までたどり着けば、そこいらの理系よりはるかに数学ができるでしょうね。とりあえず微積と線型をしっかりやるのがよいでしょう。
離散数学のことはよく知りません・・・

---

理学部ですが、経済学もわかります。

まだ２回生ならやはり微分積分と線形台数をしっかりやっとくのが一番の近道やと思います。
でも、夏休みに集合・位相の本を一冊読破するのはおもしろいかも。（予備知識は要らないはず。本によるとは思うけど多分しんどいはず。）
（経済学で）日頃使うことは少ないだろうし、すぐ忘れてしまうかもしれませんが、それでもいいと思います。

---

生物とか地学よりは、かなり数学を
ちゃんとやらないといけないみたいだね。

---

私は情報学科の数理工学ですが、うちの学科では、
まさに経済２回さんが言われたようなことを数学的に
研究してますよ。

＞不動点定理とか、包連線定理とか、鞍点定理とか、
＞コンパクト性とか、ヤコービアンとか、
＞ハミルトニアンってのも知ってなきゃ
＞いけないみたいなんですが…、
たぶん、専門的には「力学系」や「最適化数理」の
分野だと思います。
具体的には、常微分方程式や多変数の微分積分学を
応用した分野になります。
ただし、線型代数の知識も必須になってきますね。
あと、意外に思われるかもしれませんが、
解析力学を知っていると理解が深まるかと思います
（そもそもこのあたり、ネタ元は物理ですからね）。

まあ、こんな説明ではわからんでしょうけど、
興味があるなら聞いてくれればもう少し詳しく
教えてあげますよ。

＞離散数学とか位相数学とかってだいたい何のことなのかとか、
＞教えていただけるとありがたいです。
離散数学って言うと普通はグラフ理論とか形式言語理論とか、
情報の世界の基礎理論だったりするんですが、
たぶんここで言っているのはそうじゃなくて、
数値計算なんかに使う数学のことだと思います。
だから、そのつもりで説明しますね。

まず、離散数学ってのは、簡単に言えばデジタルな数学です。
つまり、非常に乱暴な言い方をすると、
普通の数学は、実数というアナログな世界で議論をします。
だから、長さや時間はいくらでも細かく分けられます。
ところが、例えばコンピュータで数字を使うと、
ある程度以上細かい値は扱えません。
つまり、飛び飛び＝デジタル＝離散的な世界なのですね。
こういった世界で使われるのが離散数学です。

高校で漸化式というのをやりませんでしたか？
あれは専門的には「差分方程式」と呼ばれますが、
微分方程式を「離散化」したものとしてとらえられます。
つまり、時間が飛び飛びに流れるようなものですね。

「位相数学」というのは……、説明するのが難しいなあ。
今、ちょっと時間がないのでまた今度ということで。

＞あと確率もですね。
確率はねえ……、学問的には難しいんですよ。
確率論の基礎を理解しようとすると非常に高度な
素養が必要で、数学系の３回生以上レベルだと思います。
その割に、これを応用した統計的な手法は、
経済・心理などの応用分野に頻出です。
とてもじゃないけど、実用のためだけにそこまでするのは
得策ではないですね。
そのくせ、議論の難しいところを排除すれば、
そこまで難しくないのですから。
初学者のうちは、経済を学ぶ人向けに書かれた本を
読んでおくのが絶対に賢明です。
そして、改めて数学に興味がでてきて、素養も付いてきたら、
そこで勉強してみるのがよいのではないでしょうか。

---

工４回さんの意見に同感です。
経済さんが数学をちゃんとやってみようという姿勢はすばらしいですが、本当にちゃんとやっていると数年かかるし、理系ですらほとんどの人が挫折します。
微積、線型の基礎をしっかりやりながら、他の分野は経済向けの本を読むのがよいと思います。

＞夏休みに集合・位相の本を一冊読破するのはおもしろいかも。
僕は集合位相は嫌いだけどなあ。この辺で性格が別れますね。コンパクト性とかはこの分野の話です。

＞離散数学ってのは、簡単に言えばデジタルな数学です。
(簡単な)差分方程式を"解く"だけならｚ変換も載っているラプラス変換の教科書、差分方程式の作り方なら数値解析の教科書ですが、どちらにしても微分方程式の知識が必須です。

道はとてつもなく長いと思いますが、がんばってください！

逆に質問ですが、そこまで高度な数学を必要とする経済っていったいどんなことをやっているんですか？

---

だいたい分野的には

ミクロ経済学
学部レベル：微分積分(おもに微分)
院レベル：↑＋線形代数
ミクロの専門家になるなら：位相

マクロ経済学
学部レベル：微分積分
院レベル：↑＋微分方程式の初歩、変分原理、線形代数

計量経済学
学部レベル：確率の初歩、統計学、微分積分
院レベル：↑＋線形代数
計量の専門家になるなら：測度論

というわけで、誰か書いてたけど
微分積分と線形代数から勉強するのが
いいでしょう。

あと、留学先に米国を考えているならば
数学系の単位をたくさんとっておく
ことを勧めます。
米国の経済大学院の選考では
数学の単位数と成績が非常に
重視されます。
(詳しくはすでにご存知かもしれませんが
http://econphd.tripod.co.jp/
参照して下さい。)

---

位相って・・・ややこしいよね。日本語が。

↑でおっしゃってるのは、トポロジーであって、フェーズではないよね？

トポロジーもフェーズも、日本語訳だと位相・・・。

そうそう、「イソウってのはね、存在可能性だよ」と言ってた先輩がいたな・・・。

---

↑↑に追加
金融工学
（測度論的）確率論
常・偏微分方程式

あと、理学部の数学の単位でいい成績をとるのは（多分）難しいです。

---

たくさんアドバイスいただきまして、ありがとうございます。本当にうれしいです。

> 微分積分学，線型代数学，ベクトル解析，常微分方程式論，変分原理，函数解析，集合・位相

とにかく土台として微積と線形代数がしっかりしてないとダメなんですね。気が早いですが、これらにある程度自信が持てたときには、上にあげていただいた分野だと、どういう順番で勉強するのがいいんでしょうか？例えば、どれとどれを同時並行的に勉強することができますか？

> 解析力学を知っていると理解が深まるかと思います
（そもそもこのあたり、ネタ元は物理ですからね）。

この本が手元にあって、どうにか役立てられればいいなと思ってるんですが…。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4534034903/qid=1060790313/sr=1-1/ref=sr_1_2_1/250-2063167-3352266

> 高校で漸化式というのをやりませんでしたか？
> (簡単な)差分方程式を"解く"だけならｚ変換も載っているラプラス変換の教科書、差分方程式の作り方なら数値解析の教科書ですが、どちらにしても微分方程式の知識が必須です。

差分方程式はマクロ経済学（ダイナミックプログラミング？）で使うようなんですが、微分方程式とかに比べて教科書が探しにくいんです。何かいいもの紹介していただけませんか？そういえば高校で数列やったとき、数学の先生が「数列っていうか、差分方程式なんだけどね」って言ってたなぁ。

> 確率はねえ……、学問的には難しいんですよ。

高校数学のような確率の授業もあるみたいなのに、確率過程論ってのもありますよね。確率と確率過程って難しさが違いすぎる気が…。でも京大の確率論は世界級だっていうんで、何とか勉強しておきたいですよね。ブラックショールズ方程式、あと尤度比検定ってのもよく目にしますね。

ところで「方程式」の統一的定義ってあるんですか？

> 逆に質問ですが、そこまで高度な数学を必要とする経済っていったいどんなことをやっているんですか？

まだまだ勉強を始めたばかりなんですが、以下は今まで調べてきて日本の大学で世界級とみなされているらしい先生のHPです。見てみてください。

www.e.u-tokyo.ac.jp/~amatsui
www.iser.osaka-u.ac.jp/~kajii

この人はメジャーじゃないみたいだけど、マクロの先生が思いつかないので。

www.econ.keio.ac.jp/staff/ito/lecture/

ミクロ経済学は個人間の行動とか社会現象の落としどころ？落ち着き先？を探してるんじゃないかなと思います。マクロは難しくてよくわかりませんが、学部のマクロと大学院のマクロは違いすぎるから、学部のうちはそこそこでいいと言われました。最初から大学院のをやらして欲しいですよね。

> そうそう、「イソウってのはね、存在可能性だよ」と言ってた先輩がいたな・・・。

謎ですね…。もちろん何故それが経済学に必要なのかも。均衡の存在は証明したいらしいですが。

> 米国の経済大学院の選考では、数学の単位数と成績が非常に重視されます。

修士は英語圏で経済学のを取りたいんですが、博士はアメリカの政策系の大学院で取りたいんです。なかなか情報がなくて困ってるんですが、経済学と同じですかね…？

---

うーん、ちょっと今も忙しくて正確に返事できないんですが。
わからなかったら上記アドレスにメールくれてもいいのですけど。

>>微分積分学，線型代数学，ベクトル解析，常微分方程式論，変分原理，函数解析，集合・位相
> とにかく土台として微積と線形代数がしっかりしてないとダメなんですね。
それはそうですね。
ただ、この両者を完璧に理解できないと先に進めないということはないです。
ある意味では、微積・線型代数は一番難しい科目なので、7 割方わかったと思ったら先に進んで結構。
そうして、先に進んだあとでわからないところがでてきたら、また元に戻ればいい。
そうやって、三歩前進二歩後退でやるのがよいでしょう。

> 気が早いですが、これらにある程度自信が持てたときには、上にあげていただいた分野だと、どういう順番で勉強するのがいいんでしょうか？
まずは微積・線型代数ですね。これは並行してやってもいいし、どちらか好きな方を先にやってもいいです。
ただ、個人的には、微積、線型代数、集合・位相だけでいいと思うなあ……。
「物工３回」さんの意見はあまりにも完璧を期し過ぎていると思います
（どうでもいいですが、「物工３回」さんはこの前本を出版された人じゃないですか？）。

まあ、微積と線型代数をマスターできるというのは、
実は（数学科以外では）相当高度なことなので、
そのときにまた相談してもらえればいいと思うのですが。

＞差分方程式はマクロ経済学（ダイナミックプログラミング？）で使うようなんですが、
そうそう、その「ダイナミックプログラミング」（動的計画法）ですね。
これが元々、解析力学が元ネタになってるんです。

それで、解析力学の発想には主な点が二つあって、
・ある条件の下で、一番効率のよい経路を探す
・一つの「物理的状態」を、高次元空間上の１点で表す
ということなんですね。
まず、前者はそのままです。例えば、平面上で「二点間の最短距離は直線」というのは聞いたことあるでしょう？
こういう風に、自然界では「最も楽な道」が選ばれる傾向にあるのですが、
そのことを証明した上で、最も楽な道を選ぶ方法を考えたのが
ラグランジュという人です。
この人が解析力学の提唱者なのですが、同時に「ラグランジュの未定乗数法」というものも同様の発想から考えていて、
これが動的計画法の発想の根本になっているんですけどね。

で、後者はちょっと難しいですが、例えば直線上を運動する点を考えてください。
たとえば、点の位置が、初期位置から見て右に 7.6 m だけ進んでいて、そのときの速度が毎秒 4.9 m だったとします。
このとき、この点の「物理的状態」を、(7.6, 4.9) という二つの数の組で表して、
これを平面上の点として表してやろうというのが、解析力学のもう一つの発想です。
これがいわゆる「相空間」（phase space）なんですね。

で、あなたの知りたがっていた「位相」（topology）はこれとは違って、
簡単にいえば、平面・立体上の点の「近さ」を論じる学問です。
平面上に適当に「領域」(domain) を取ったとき、その「境界」(boundary) はどう定義されるか、などを考えます。
でも、これは抽象的で難しいので、微分積分学をマスターしてからでないと
なかなかありがたみはわからないでしょう。

> 微分方程式とかに比べて教科書が探しにくいんです。何かいいもの紹介していただけませんか？
あんまりないんですよ。
「物工３回」さんがいっていた z 変換とか離散フーリエ変換とかを使えば確かにわかりやすいんですが、
これの学問的な基礎は、確率論同様、かなり難しい。
（ただ、もう少し初等的なレベルならば、常微分方程式の理論を学べば一目瞭然になるのですが。
例えば、高校で「漸化式の特性方程式」というのを習ったと思いますが、
あれは「固有方程式」だということがそのうちにわかるようになると思います）。
まあ、強いていえば、
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4781907814/qid=1060792987/sr=1-6/ref=sr_1_0_6/250-7702952-5094662
このシリーズでしょうか。


＞高校数学のような確率の授業もあるみたいなのに、確率過程論ってのもありますよね。確率と確率過程って難しさが違いすぎる気が…。
そんなことはないですよ。私が言った、「専門的には確率論は難しい」という話ですが、
その確率論を理解できれば、確率過程論は難しくないです。
ただし、もっと直感的に理解しようとするなら話は別ですがね。

---

>> そうそう、「イソウってのはね、存在可能性だよ」と言>>ってた先輩がいたな・・・。
>>謎ですね…。もちろん何故それが経済学に必要なのか
>>も。均衡の存在は証明したいらしいですが。

一例をあげましょう。
ミクロ経済学で需要関数ってあるでしょ。
あれはある程度以上のレベルでは、
消費者が予算制約のもとで効用を最大化
するという条件つき最大化問題に
直面して、その解が需要で、
解(需要)がパラメータ(価格)の
どういう関数(対応)になるかという
話になるんだけど、

これは数学的には、
1そもそも解が存在するか
2解が存在するとして解は1個だけか
3解はパラメータの変化に対して
　連続的に変化するか
4解はパラメータの変化に対して
　単調に変化するか
という4つのステップになってて、
それぞれ経済学的には、
1需要は消費者の効用最大化の解として
　定義されうるか
2需要は価格の関数になるか、対応になるか
3需要関数は連続か
4需要関数は価格の減少関数か
という問題と対応するのですが、

それらを厳密に証明するために
1では、関数の連続性、集合のコンパクト性
2では、関数、集合の凸性
3では、対応の優半、劣半連続性
4では、束、スーパーモジュラ性
といった、集合論、位相数学の概念が
必要になるのです。

以上のことを厳密に示す
ありがたみ、つまり位相数学を
使うありがたみは、経済の問題
は条件つき最大化問題と数学的に定式化
されることが多いので、そのときの
解の証明やら、一意性やら、解の変化の
連続性やらの証明に使える、ということです。
(一般均衡の存在証明とか
ゲーム理論でのナッシュ均衡の
存在証明とかにも使われる)

で、そのありがたみが
どれだけ「ありがたい」かというと、
まあ以上のことを厳密に証明することに
どれだけの価値を見出すかにもよります。
(全く価値を認めない人から
反対に数学的に証明されないことには
価値を認めない人までさまざま)

需要関数でいえば、
実際に経済で重要な意味をもつのは、
連続性とか単調性といった質的なものよりも
その傾き(価格にたいする感応度：弾力性)
量的な性質なんですよね。
実はミクロ経済学理論の
専門家以外のほとんどは位相数学を
使った分析はしないし、知識も
そんなにありません。
ミクロ理論家が需要関数などの
質的な性質を位相数学を使って解き明かし、
他の人はそれを前提にして
位相に立ち入ることなく量的な
性質を議論するという感じでしょうか。

---

>> そうそう、「イソウってのはね、存在可能性だよ」と言ってた先輩がいたな・・・。
>
>謎ですね…。

ごめんなさいね。これは単なるネタです。
「居そう、居なさそう・・・」というわけで、存在可能性なわけです。ごめんなさい。ただのネタ。

---

大丈夫だ！俺はちゃんとわかって笑ったから！
スベってないぞ！気にするな！泣くな！！

---

赤面…

---

> つまり、飛び飛び＝デジタル＝離散的な世界なのですね。

読み返していて思ったんですが、高校の数�Vで関数の極限と数列の極限ってやりますよね。これは「連続か離散か」の違いだったんでしょうか？

> 赤面…
> 実はミクロ経済学理論の専門家以外のほとんどは位相数学を使った分析はしないし、知識もそんなにありません。

いやいや親父さん、とてもありがたくお話を聴かせていただいてます。厳密な数学の話は、うちの西村先生とか、東大の神谷先生とかの感じがしますね。
あくまで今のところですが、僕は小佐野先生とか、一橋の伊藤秀史先生とか、ラフォンとかチロルとか、それを政治に応用みたいなことに興味があります。数学的にはどうでしょう？
でも自分の専門がどうのこうのに関わらず、大学院の必修科目でこれらの数学がどうしても必要になる気がしないでもありませんが…。

---

＞上にあげていただいた分野だと、どういう順番で勉強するのがいいんでしょうか？例えば、どれとどれを同時並行的に勉強することができますか？


微積、線型、集合・位相は並行してできます。工４回さんのおっしゃる通り、そこそこ理解したと思ったら次に進んでいいと思います。僕も１００％は理解してないです。
その次は常微分方程式をやるのがよいと思いますが、現時点で簡単な方程式が解けないと困るようであれば、経済向けや工科系向けの、解法のアルゴリズムだけを載せたような本を見るのもよいかと思います。

その先はあんまり気にすることないと思いますよ。微積、線型がしっかりしていれば大抵の分野はすぐに身につけることができます。

＞ところで「方程式」の統一的定義ってあるんですか？

Aを任意の作用素として Ax = 0 とか？

＞（どうでもいいですが、「物工３回」さんはこの前本を出版された人じゃないですか？）

ノーコメントで(笑)

---

＞読み返していて思ったんですが、高校の数�Vで関数の極限と数列の極限ってやりますよね。これは「連続か離散か」の違いだったんでしょうか？
うーん。。。。ある意味、そうか。。。な。。。
確かに、「離散」の世界は、関数の代わりに数列を扱うことが多いけれども、極限操作というのは基本的に実数の連続性に関わっているので、それはちょっと違う気がするんだよなあ。

ただ、そういう離散的な議論をするときは、連続的な議論にどれぐらい帰着できるかということを考えるので、一概に分けられるものではないんだけれど。

そうそう、それから勉強する順番は、余り難しく考えない方がいいですよ。「これが終わるまで先に進まない」とか。
実際、教科書に載ってることなんて、「使ってみないとありがたみがない」ですからね。そこが難しい。
しかし、もっと難しいのは、最初に勉強しだすときは、勉強のとっかかりになるものがないんですよね。だから最初は本当につらいだけなんですよ。。。。

ある意味、微積とか線型代数は一番難しい分野ですよ。

ちなみに、微積や集合・位相にでてくる抽象的な議論がよくわからなかったら、
　松本幸夫「トポロジー入門」（岩波書店）
の最初の方を読んでみるといいかも。ある程度わかりやすく書いてあるはず。
それから、微積分は最初のややこしい議論が、どうしてそんなものが必要なのかもわからないから本当に苦痛なんだけど、
　小平邦彦「解析入門 I・II」（岩波書店）
は割とそのあたりをきちんと書いてくれているようです。

他に、数学にどんな分野があるのか知りたかったら、
　数学セミナー編集部編「数学完全ガイダンス」（現代数学社）
なんて本もあります。ただ、本の紹介とか記事の中身には癖がある（個人的には、余り底が深いとは思えない）ので、余り信用しすぎない方がいいかもしれないけど。

あと、最後に、数学を勉強するときは、最初は論理に悩まされるけど、そのためには
　戸田山和久「論理学をつくる」（名古屋大学出版会）
　本橋信義「新しい論理序説」（朝倉書店）
なんかを、最初の部分だけでいいから読んでみるといいかも。特に、前者は文系の人が書いた本だから読みやすいんじゃないかな。

最後に、中学・高校数学を新たな視点で新たな支店で復習しつつ、大学数学の橋渡しをするために、
　志賀浩二「数学が生まれる物語」
　同「数学が育っていく物語」
　（各 6 冊シリーズ、いずれも岩波書店）
なんてのも読んでみるといいかも。
なお、志賀浩二氏の著作には、大学数学の範囲でも、同様の
　「数学 30 講シリーズ」（朝倉書店）
があります。
ただし、これらの本は、教科書としては使いにくいのでご注意を。あくまで副読本として読むのがいいかな。

これらの本を図書館で探してみて、気に入ったものを借りて読んでみてはどうでしょう。

では、がんばってください。

---

蛇足ですが。

＞Aを任意の作用素として Ax = 0 とか？

これだと、x が何かが曖昧じゃないですか？
例えば、代数方程式なら x は何らかの代数系の元ですが、
微分方程式などだと、x は関数になります。

---

意外と良スレなので保守。
ところで、「経済２回」はこれで納得したんだろうか？

---

うわ、今読み返すと結構怪しいこと書いてるなあ。
やばっ。。。。(汗)

---

> ところで、「経済２回」はこれで納得したんだろうか？

書き込んでいただいたことを理解できるように、勉強したいと思います。とりあえず本屋で
竹内外史『集合とはなにか』
戸田山和久『論理学をつくる』
斎藤正彦『線形代数入門』を購入しました。

---

おお、ここまで忠実にやってくれるとは(笑)。
えっと、その 3 冊が本棚の肥やしにならないために少し助言を。

まず、この本はどれも結構難しいので、一度読んでわかるとか思わないように。
それでも、竹内本と戸田山本とかは、電車の中とか風呂上がりとかに少しずつ読んでいって結構楽しめると思います。
で、内容をきちんと理解しながら読む必要はないです（特段の興味があるならともかく）。
なんとなく、「何書いてあったかようわからんけど面白かった」ぐらいで、半分ぐらい読み進めれば十分です。

で、斎藤正彦の本はこれとは逆で、ノート取りながらでもないとなかなか読めないと思う。
3 章まではそれでもまだ何とかなるが、5 章はかなり難しいし、6 章以降は激ムズ
（著者自身が、初学者向きの書き方ではなかったと認めています）。
でも、5 章ぐらいまでは読まないとなかなか実用的な価値がないから困ったものですが。。。。
とりあえず、演習問題はできるだけサボらずに解きましょうね（難しいけど）。
進度はゆっくりでいいから。1 日 10 ページも読めないと思うけど、それで十分すぎるぐらいです。

で、それでも詰まったら、1 〜 4 章は
　志賀浩二「線型代数 30 講」（朝倉書店）
あたりを、5 章は
　同「固有値問題 30 講」
の前半ぐらいを図書館で借りてきて少しずつ眺めてみると良いかも。
あと、4 章あたりに最初の壁があると思うので、その場合は
　同「ベクトル解析 30 講」
の前半を読んでみると良いかもしれません。

あ、別に僕は志賀先生の身内でも、朝倉書店の関係者でもないですよ(笑)。
単に、このシリーズが好きなだけです。

では。ご健闘を祈ります。

---

あげ

---

＞工４回
＞これだと、x が何かが曖昧じゃないですか？
＞例えば、代数方程式なら x は何らかの代数系の元ですが、
＞微分方程式などだと、x は関数になります。

別に微分方程式だって方程式なわけだからいいんじゃねーの？
関数方程式を方程式の範疇から除外する理由はないでしょ。

---

それから，斜め読みしかしてないんだけど，１の疑問は結局解決したの？

（きちんと嫁って言われたらまあその通りなんですけど・・・）

---

＞某ちゃねらー
＞別に微分方程式だって方程式なわけだからいいんじゃねーの？
＞関数方程式を方程式の範疇から除外する理由はないでしょ。
いや、そういう意味じゃなくて。
数学に慣れてない人は、意外とこの辺の区別に慣れてないでしょ(物理屋さんですら、記号を書くときに、変数と定数の区別を付けにくい書き方をする。彼らは、そのあたりの表記の曖昧さを、「物理的な意味」を読みとることでフォローしているのではないかという気がします)。
だから、文系の人に向けたレスとしては、定義を書く際には、その中で用いられた記号の意味合いは明確にしておくべきじゃないかな、と思って。
それだけ。別に深い意味はないです。

---

x をなんと言うかは僕も困ったんですが、
なんとも書きようが・・・A が作用できるものとしか。
例えば、名著「函数解析の基礎」の縮小写像の原理の
とこを見ると、
“点 ｘ が写像 A の不動点であるとは、Ax = x なることをいう”
と書いています。


よう分からん人のために詳しく書いておくと、
方程式 Ax = 0 は、例えば
Ａ：１変数関数、ｘ：未知数　ならば A(x) = 0 という代数方程式
Ａ：行列、ｘ：未知のベクトル　ならば連立方程式
Ａ：微分作用素、ｘ：未知関数　ならば微分方程式
Ａ：積分作用素、ｘ：未知関数　ならば積分方程式

といった具合です。

---

＞例えば、名著「函数解析の基礎」の縮小写像の原理の
＞とこを見ると、
＞“点 ｘ が写像 A の不動点であるとは、Ax = x なることをいう”
＞と書いています。
ああ、なるほど。

では、今思いついたのですが、こう言ってはどうでしょう。
「X をある代数系、A: X → X をその中の変換とする。
このとき、Ax = 0 （x ∈ X ）を、X における方程式という」

ただ、この書き方の問題点は、どう考えても一般の人にはわかりにくい書き方になってしまうこと。。。。

---

数学屋さんに登場して欲しいな(^^;)

---

微積，線形代数は、なんとなくどんなものかわかってきましたが、位相数学は歴然と難しいですね…。なんで？だから？と言い続けています。

ゲーム理論が、数学的には変分問題と呼ばれる分野と関係がありそうだと思ったんですが、授業的には微積・線形代数・位相数学→微分方程式・ベクトル解析（・複素関数論）→関数解析・変分問題って感じで、相当上級の数学のようですね。理学部と工学部で違う感じがしますが。それにしても、離散数学と確率が出てこないんですよね。

---

確かに位相は非常に抽象化されてますからねえ。
個人的にはそういうの、世界が広がった感じで好きなんですけど。
Euclid空間を思い浮かべれば何となく納得はできるでしょうが、
それだけではありがたみが全くわからないですね。
自分で本に書いてある定理を証明してみたり、
いろいろな位相空間を考えてみたりするのがいいんでしょうかね？
個人的な経験から言えば、
授業聞いててもよくわからなかったんですが夏休みに本を読みながら
「なんかこのへんとこのへんが繋がってて・・・」
「この点はここの領域とは離れてて・・・」
とか考えて絵を描いてたらだいたい分かった気になれました。

それからちょっと上で出てきてる方程式ですけど。
定義しようとすればいろいろやり方はあるでしょうが、
あんまり「方程式」の定義は何かと考えず
無定義語と思ってしまってもいいんじゃないでしょうか。

---

以前お世話になりました。微積，線形代数，位相数学をなんとなくなめてみて、それ以上の数学、例えば
・ラグランジュの方程式
・変分原理
・ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式
・ルベーグ積分
をやろうとすると、これらは全部物理の話らしいということがわかりました。しかし高校物理は運動方程式も理解できずじまい…。

そこで予備校の春期講習の物理を１つ取って、力学だけでも少し理解したいんですが、どうでしょうか？高校と大学では違いが大きいから、春期講習の力学じゃ解析力学とか統計力学とかには全然つながりませんか？一応センター物理の力学は完成するらしいんですが…。

---

受験物理ではちょっとアレじゃない？
余裕があるならランダウ＝リフシッツの「力学」を勧めたいけど・・・。

---

アレって、足りないんですか、ズレてるんですか、その両方ですか？

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4489001223/qid=1078589036/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/249-2671557-1203529
ですか？きつそうだな…。ところで「この商品に興味がある人は、こんな商品にも興味をもっています」の項を見てみてください（笑）

---

うわっ
これだから理学部はキモいとか言われるんだな(苦笑)

予備校の春期講習ではやっぱり大学入試の問題を解くこと重視だから
学問として本質的なところに触れたいならまったく物足りないんじゃないかな。

まぁランダウはムズイけどね。。。
そんなに高くないし薄いし、いきなり理解はできなくても
読んでみる価値はあると思う。

---

理学部だからキモいってわけじゃないと思いますけどね…。

春期講習はきっかけになるかなと思ったんですけどね。確かに問題を解く方法を教わってもしょうがないですよね…。

でも、とりあえず力学で、波動とか電磁気とかは置いといていいんですね？熱力学のなんとか…とかありますよね。『エントロピーの経済学』なんて本もありますね。「複雑系」っていうのは、力学に関係してるんですか？

---

でも高校のときって問題解きまくることによって現象を理解してなかった？

もともと物理じゃなくて数学やりたいんですよね？簡単な教科書で大雑把になぜ物理でそのような問題が現れたか、だけ掴んで、あとは数学書で学ぶのがよいのでは？
例えば
小磯憲史『変分問題　(共立21)』
など。

複雑系は、元ネタが物理にあるものは多いけど、物理の知識がないといけないわけではないです。

---

あなたの挙げたやつのうち、ルベーグ積分は思いっきり数学ですね(^^;
で、ルベーグ積分は、微積と集合・位相をきちんと理解していれば大丈夫です。
下の、理学部の木上先生のWebページから、「解析学１」のところを見てもらえれば、
大体の雰囲気は分かるんではないかと思います。
http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/

で、他のも、物理だけじゃなくて数学からも研究されてます。
でも、確かに高校物理＋α程度の前提知識は必要です。
これを学ぶために、予備校の講義を受けてみるというのも手ですが、
予備校の講義はどうしても指導要領の範囲でやってるために、
それだけでは理解が不十分になってしまうでしょう。
それくらいなら、春から１回生向けの「初修物理学」の講義をとるとか、
大学レベルの本からいきなり入るのもありだと思います。
特にアメリカの本なんか、導入が丁寧だと思うんで。。。。

私、物理屋さんじゃないで、具体的な本の紹介は他の人に譲りますが。

---

みなさんありがとうございます。微積は重積分までなめてみたんですが、上にあげたような事項（ルベーグ積分とか）は「ベクトル解析」とか「複素関数論」をやった後の話なんですかね。「関数解析」ですもんね。こりゃ大変だわ…。

でもおもしろいもんで、統計力学と量子力学とかって、たぶんマクロ経済学とミクロ経済学にそっくりですね。「物質の示す巨視的諸現象を、その構成要素である原子・分子集団の振る舞いから説明する処方箋が統計力学である。個々の原子・分子の振る舞いは量子力学で説明することが可能だが、これらが1モル当り10^23個も集まった巨視的物体で起こる現象を説明するには＋αが必要である。この＋αが統計力学で…」とかってマクロっぽい。これとか…
http://www.e.u-tokyo.ac.jp/gradCD/riron/03a16j.pdf
ちょっとでも知ってると、すごくおもしろいと思うんだけどな…。

いろいろ見てみてるんですけど、たぶん
統計力学に必要な知識：解析力学の基礎＝相空間，ハミルトンの運動方程式？など
↑
解析力学のモチーフ：「素朴なニュートンの方程式は、基本的には直交座標系で考えられているので、他の座標系であると扱いにくい」
←これがたぶん、工４回さんがずっと上でいわれた「最速降下線問題」と関係があるんですね。

なんですが
�@ニュートンの方程式って何？　と
�Aなんで解析力学みたいなことがわかると、統計力学みたいなことがわかるの？
ってのがわかんないですね。�@がきっと、高校物理なんですね…。

---

Newton の運動方程式は
F = mx''
(物体に加わる力) = (物体の質量)×(物体の加速度)
です。加速度は位置の２階微分です。微分方程式ですから取扱いが難しく、特に座標変換の計算が凄く面倒です。そこで、初めからどんな座標系においても成り立つように改良しました。ラグランジュの運動方程式やハミルトンの運動方程式があります。

「最速降下線」はラグランジュの運動方程式ができるきっかけを与えました。この方程式の基本的なアイデアは「エネルギーを最小にする関数を求める」ですから、もっと一般化して「●●を最小にする関数を求める」とすれば変分法と呼ばれる数学の分野になります。

＞なんで解析力学みたいなことがわかると、統計力学みたいなことがわかるの？

統計力学やるのに特に解析力学の知識は必要ないと思いますが・・・

---

これ以上物理に立ち入るんだったらベクトル解析の知識が必要になってきます。ガウスの定理とかストークスの定理とかは知っておかないと。

ルベーグ積分だけならば 新M1 さんの言うように、最低銀微積の知識があれば大丈夫です。般教の「実解析Ａ」という授業でルベーグ積分をやっています。総人の人は２回生でとっているようなのでそんなに難しくないでしょう。

---

みなさんのお話をもとに計画を立ててみましたが…

�T．
・線形代数
・微分積分
・集合・位相：竹内・志賀
�U．
・微分方程式・差分方程式
・解析力学・変分原理：Landau
・最適化数学
・ベクトル解析(※)
・複素関数論(※)
�V．
・関数解析
・確率・統計
・量子力学・統計力学(※)

もう少しわからないことがあるので教えてください。

１．チェリーさんのいわれる「実解析」は、上のどの分野に入りますか？

２．この本
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4563005533/qid=1078741644/sr=1-7/ref=sr_1_8_7/249-9561364-4004305
の「凸解析」は、上のどの分野に入りますか？

３．上の「解析力学」と「最適化数学」はどういう違いがあるんでしょうか？具体的には
�@http://syllabus.kogaku.kyoto-u.ac.jp/syllabus/2003/90710.html
�Ahttp://syllabus.kogaku.kyoto-u.ac.jp/syllabus/2003/90790.html
�Bhttp://syllabus1.tus.ac.jp/Syllabuses/K1/4445115900.html
は問題の起源，問題意識などでどう違うんでしょうか？�Bは�Aの簡単なやつですかね？「凸解析」と合わさってるんですかね？？

---

解析力学は、簡単に言うと物体の運動を方程式を解いて理解しよう、という分野です。
最適化は、いろんな問題の最大最小問題を扱います。例えば、「セールスマンがいくつかの町を巡回するとき、最短経路で全部まわるにはどういう道を通ったらよいか？」

扱う問題はまったく違いますが、似ているといえば、解析力学の方程式が「エネルギーや時間を最小にする」目的で立てられた、ということかな。どちらもラグランジュの未定乗数法が重要な役割を果たします。
ただし解析力学は微分方程式を扱うのに対し、最適化ではあまり見かけません。この２つの分野はまったく違うと思ってよいです。前者は物理だし、後者は数学です。どちらかを先にやらないといけない、ということもありません。
最適化については↑の�Aに書いてある教科書を読めばだいたいわかると思います。

凸解析は最適化でちょっとだけ出てきますが、解析力学では出てきません。経済でどのくらい必要なのか知りませんが、本格的に学びたければ
「函数解析の基礎」(コルモゴロフ、岩波)
を薦めます。これに集合・位相もルベーグ積分も載っています。実解析は函数解析に入ります。

つか別に解析力学はやらなくていいと思いますが・・・

---

> 微分方程式ですから取扱いが難しく
> ただし解析力学は微分方程式を扱うのに対し、
> 最適化ではあまり見かけません。

微分方程式かどうか、というのが分かれ目なんですね。まだピンと来ませんね…。

> 「函数解析の基礎」(コルモゴロフ、岩波)

経済関係でも持ってる人多いみたいです。経済学は数学なんですね…。

> つか別に解析力学はやらなくていいと思いますが・・・

ラグランジアン・ハミルトニアン・変分原理は解析力学の内容ということでやろうと思ったのですが…。内容は簡単にさらうんでも、練習問題をいっぱい解ければいいんですよね。でも、演習書の問題は物理の話題から採られてるんでしょうね。数学で他人に差をつけるといっても経済学では sin, cos は関係ないし、なかなかやりにくいです…。

---

あと、数学用語に詳しい英和辞典をご存知でしたら教えてください…。

---

（解析）力学の名著としては
「古典力学の数学的方法」（アーノルド、岩波、9000円）
があります。これは物理をやるというよりあくまで
数学的興味から古典力学を再構成しているという感じです。
ただこれが読みこなせるのなら経済学者に要求される
数学のレベル（そんなものがあるのかわからないけど）としては
十分に過ぎるかもしれない。

というか最近は物理学者で経済学に手を出す人も結構いらっしゃるみたいですね。
社会科学を数学的に解析することはまだまだ開拓の余地がありそうですし。

＞英和辞典
そこまで数学に興味があるのなら、数学辞典（岩波とか）を買ってしまってよいのでは？

---

> 「古典力学の数学的方法」（アーノルド、岩波、9000円）

これは前出のランダウよりも数学的なんでしょうか？高校のとき「なんだこれ」と思った運動方程式ですが、上でチェリーさんに

> Newton の運動方程式は
> F = mx''
> (物体に加わる力) = (物体の質量)×(物体の加速度)
です。
> 加速度は位置の２階微分です。

と書いていただいて、「おっ」と思ったんですよね。受験でいう「公式」を数学的に導出していくような本があるといいのですが…。

> というか最近は物理学者で経済学に手を出す人も結構いらっしゃるみたいですね。
> 社会科学を数学的に解析することはまだまだ開拓の余地がありそうですし。

京大経済の根井という先生が編集した『21世紀のエコノミスト』という本に出てくる11人の経済学者のうち、５人が少なくとも学部までは理系で、他の１人も学部時代はかなり物理学を勉強したそうです。そんなこと全然知らずに大学に入ってしまいましたが…。

> 数学辞典（岩波とか）を買ってしまってよいのでは？

ありがとうございます。いろいろあたってみます。

---

虐げられし追大生 2004/03/10(水) 03:42:30
http://www.ritsnavi.net/rsbbs/rsbbs.cgi?show=thread&category=lobby&thread=1070971899&scope=l50&tt=off&left=off
リッツに叩きのめされております。
侠気なお方、どうか救ってください

---

チェリーさんやど素人さんがほとんど答えてくれているので、
補足程度に付け加えておきます。

> ・集合・位相：竹内・志賀
竹内さんの本も志賀さんの本も、「教科書」にはならないと思います。個人的には、
　松坂和夫「集合・位相入門」（岩波書店）
が一番わかりやすいと思います。
それよりもいくぶん内容が豊富だけど説明が不親切なのが
　齋藤正彦「数学の基礎―集合・数・位相」（東京大学出版会）
ですね。
あと、コルモゴロフの「函数解析の基礎」にも集合・位相が
基礎から説明されてます。こちらは内容の豊富さは少し難がありますが、
最低限は押さえられてますし、何より上記二書よりも遙かにユニークです。

> 最適化は、いろんな問題の最大最小問題を扱います。
> 例えば、「セールスマンがいくつかの町を巡回するとき、
> 最短経路で全部まわるにはどういう道を通ったらよいか？」
補足です。それは「離散系の最適化」ですよね。
でも、経済で使うのは多分、一般の「非線形計画問題」だと思う。
これは、基本的にはラグランジュの未定乗数法ができればいいだけです。
それ以上でも以下でもありません。

>>「古典力学の数学的方法」（アーノルド、岩波、9000円）
> これは前出のランダウよりも数学的なんでしょうか？
勿論です。数学の分野の古典的名著とされています。
ただし、これを読むときには微分方程式や幾何学の初歩は
あったほうがいいかも。同じ著者の「常微分方程式」という本を
先に眺めてみると良いかもしれませんね。
「古典力学の……」はその続編といった色が強いです。
あと、ランダウは個人的には勧められないなあ……。
あれは、発想がコテコテの物理の本だし、何より難解。
一度勉強して基本的な理論の枠組みを身につけた人が、
「物理学」の発想を深めるために読む本だと思う。
初学者、特に物理屋さん以外の人には、個人的にはおすすめできないですねえ。

それから、解析力学で一番画期的なアイデアは「変分法」です。
これは、簡単にいうと「関数を微分する」のではなく、
「関数『で』微分する」という、驚くべき発想です。
詳しくは、自分で見てみて下さいね。

あと、「凸解析」のアイデアは物理の中で暗黙に使われてますよ。
熱力学や統計力学なんかで、エントロピーの凸性は絶対的に大事ですし、
ラグランジュ力学からハミルトン力学に移るときの
ルジャンドル変換なんて、あれは凸解析の基本的なアイデアそのものですからね
（ここの説明、わからなくて良いです。ごめん）。
ただし、数学や物理の人間は、「凸解析」ということをあまり意識しないと思う。

長くなりましたけど、そんな感じですね。

＞チェリーさん
全然関係ないんですが、チェリーさんはどこの学部（学科）なんですか？
ちょっと興味が。

---

いつもながら勉強させていただいております。

> あと、コルモゴロフの「函数解析の基礎」にも集合・位相が基礎から説明されてます。

「コルモゴロフ」ですが、上下２冊になってるのも面倒ですし
安いので英語版を買おうと思うんですが
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486612260/qid=1078922800/sr=1-1/ref=sr_1_10_132700-6840235/kyotoucom-22
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486406830/qid=1078922800/sr=1-3/ref=sr_1_10_332700-6840235/kyotoucom-22
のどっちなんでしょうか？どっちがいいんでしょうか？確率の本も書いてるんですね。

> でも、経済で使うのは多分、一般の「非線形計画問題」だと思う。
> これは、基本的にはラグランジュの未定乗数法ができればいいだけです。
> それ以上でも以下でもありません。

経済関係の人がよく持ってるのは
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0521497701/qid=1078922996/sr=1-1/ref=sr_1_10_132700-6840235/kyotoucom-22
で、これ関係の授業は「Kuhn-Tucker 条件」「不確実性の下での最適化」が扱われるようです。あとは、マクロで出てくる「ダイナミック・プログラミング」！いい教科書と演習書があったら教えてください…。あと、このダイナミック・プログラミングと差分方程式って、何か関係があるんでしょうか？

> あと、ランダウは個人的には勧められないなあ……。
> それから、解析力学で一番画期的なアイデアは「変分法」です。
> ラグランジュ力学からハミルトン力学に移るときの
> ルジャンドル変換なんて、あれは凸解析の基本的なアイデアそのものですからね

全部、解析力学の話ですよね…。挫折するのは簡単ですから、授業探して新学期から解析力学の勉強をしてみたいと思います。挫折したら報告します(笑)。

---

コルモゴロフは、どちらも同じ本の訳ですが、
下の方(Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis)
の方が多分版が新しいと思います。
この本は、改版されるたびに内容が増えているので新しい方がいいでしょう。

ちなみに、洋書と言っても、この本の原書はロシア語ですので、
あくまでも翻訳です。わかっているかもしれませんが、ご注意を。。。。

あと、通販で買うなら、生協で買った方が安いかもしれないので、
チェックした方がいいですよ。

うー、でも、Dover 版が出ていたのか、しまった
(最近、生協のセールにだまされて、岩波版を買ってしまったのです^^;)

で、Kuhn-Tucker条件と、dynamic programming=動的計画法ですが、
これは、先に挙がった、
http://syllabus.kogaku.kyoto-u.ac.jp/syllabus/2003/90790.html
の教科書
福島雅夫「数理計画入門」(朝倉書店)
が大体カバーしていて、分かりやすいと思います。

ただ、「不確実性の下での最適化」が何なのかは
今一つ分からないので、そこは保証しませんが。。。。

あと、動的計画法に関しては、「アルゴリズムとデータ構造」の本を
読んでみるのもいいかも知れません。
これに関しては、私の知っているのだと、
茨木俊秀「Cによるアルゴリズムとデータ構造」（昭晃堂）
があります。

それから、前にも書いたけど、
Kuhn-Tucker条件とLagrangeの未定乗数法はほとんど自明に同値なので、
微積の本でLagrangeの未定乗数法を学べばそれでもう終了ですよ。

最後に、解析力学の授業について。
これは、全学共通科目で取るのが普通でしょう。
理学部の講義は通年計画になっていて、多分マニアックですから。
それから、工学部情報学科のhttp://syllabus.kogaku.kyoto-u.ac.jp/syllabus/2004/90710.html
は絶対にお勧めできます。
私の所属学科の手前味噌ですけど、
この先生の講義は非常にしっかりしていて分かりやすいし、
演習もやってくれて丁寧です。

---

物工の「工業力学」でも解析力学をやっています。こちらは情報のよりも幾分やさしめですが、先生の説明がすごく丁寧でかなり分かりやすいと思います。私の所属学科の手前味噌ですけど、お勧めです(^^;)
授業始まる前に普通の力学をやらないといけませんね。

＞全然関係ないんですが、チェリーさんはどこの学部（学科）なんですか？

このスレの上のほうで「物工３回」で書きこんでいるものです。捨てハンをいつまでも使い続けるのもなんだと思ったので名前変えていました。
確かあなたには正体を見破られましたよね(笑)

---

> それから、前にも書いたけど、
> Kuhn-Tucker条件とLagrangeの未定乗数法はほとんど自明に同値なので、
> 微積の本でLagrangeの未定乗数法を学べばそれでもう終了ですよ。

最適化理論をマスターする気が湧いてきます。

ところで、いろいろな大学のシラバスを調べてみると、「差分方程式」と「マルコフ連鎖」が１つの講義、「マルコフ連鎖」と「ダイナミック・プログラミング」が１つの講義で扱われているようなのですが、これらはだいたいどのような関係にある事柄なんでしょうか？差分方程式，微分方程式，最適化理論，確率過程論とか全部混ざっちゃってますかね…。コルモゴロフとかマルコフとか、ロシア人が強いのかな。亡命したのかな。研究の必要性があったのかな。

アメリカの大学には「統計学部」なんてすごいのがあるようで、そこの大学院を出た先生が経済学部で教えてたりしますね。「研究分野：マルコフ連鎖モンテカルロ法」ってね、名前だけで大変そう(笑)。

あと、情報学科の「解析力学」か、物理工学科の「工業力学」か、時間割のあう方にさせていただきたいと思います。単身乗り込むのはドキドキですね。当てられたらどうしよう(笑)。でも、両方とも指定教科書がないんですね…。そして、教官が紹介してくれる参考書は、きっとみなさんが紹介してくださったものと同じですね(笑)。どの本を買おうかな…。

> 授業始まる前に普通の力学をやらないといけませんね。

とまた、春期講習に行こうかどうか迷いだすわけですが(笑)。１万強あれば本もいっぱい買えますしね。

---

Takayama A. Mathematical Economics 2nd ed.

は、最適化に関しては、静学から動学まで、経済学論文でよく使われる数学ツールは、ほとんど扱っている。これから数理経済を勉強する人にはぜひ薦める。

ただ、この本が書かれたのは70年代なので、その後の発展に関してはまた新たに本を読まなきゃならない。Econometricaに載るような数学を駆使した論文を書きたいんなら、やっぱり、理学部、工学部の数学の講義をどんどん聴講したらいいよ。

---

経済３回生さんは、微積と線形代数をきちんと勉強したのかな？

それなら、大学院基礎科目の数学を聴講してみるといいと思う。（内容から考えると集合・位相も必要）
講義形式だし、宿題を出してもきちんと採点してもらえる。

内容は、実解析・線形代数・凸解析がメイン。

あと、アメリカのPh.Dコースには修士と博士の違いはない。
博士にたどり着かなかった人が残念賞的に修士を貰う。
日本で修士課程（分野からすると東大か京大がいいのかな）に進学して、コースワークを一度やって留学するのが一般的。文面から、国際機関等を考えているような感じだけど応用研究（実証研究を含む）を留学先でやればよい。

---

久々にアップ！
無限と極限の話が満載のスレですなぁ。
僕は無限の概念に興味あるんですが、今、下記を読もうとしてるんですが、途中であきそうなんで結論部分を拾い読みしてます。

　「無限」に魅入られた天才数学者たち
　アミール・D. アクゼル (著), その他 単行本 　　(2002/02) 早川書房

よく知られているように、集合論の観点より、カントールが無限を数にして、無限にもいろいろあることを言い出して、超限集合論を展開したというのが結論のようです。上レスにもあるように、

　　竹内外史『集合とはなにか』

も読んでますが、ここ数年読みかけ止まりです。

---

無限は実数か自然数でいつまでも続くという感じがするが、実数と自然数の違いが一番本質的な気がする。

---

無限に関する、さらなる最新情報キボンヌ

---

無限を数として定義する方法もあるな。
実数体上の冪級数体R((1/t))の順序を最高次の係数の実数としての順序で定めるときR((1/t))は非アルキメデス的順序体でtは無限大1/tは無限小、R((1/t))は完備となるな

---

友達に京大のテニスサークルで『ＰＯＰＣＯＲＮ』というのに入ろうって誘われています。
正直いい感じのサークルなんでしょうか？？
友達はすごく気に入ってるのでぶっちゃけた話を聞きにくくて・・・悪いうわさを聞いたことがあったので・・・
ＨＰとか持ってるんですかねぇ？？・
持っててどなたかアドレス知ってる人いたら教えてください♪

---

＞あ 2005/09/19(月) 23:07:31
＞無限を数として定義する方法もあるな。
それはどういうところで使われていますか？

---

上で書いたような性質を持つ体が構成できるというのは大きな意味があると思うぞ。
あと超準解析というものもあるそうだが

---

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0

超準解析（ちょうじゅんかいせき）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。無限小解析と同一のものとも見なされる。そこではイプシロン-デルタ論法によって一度は追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、ライプニッツ流の微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。アブラハム・ロビンソンによって考案された。

超実数（ちょうじっすう）は実数を拡張した数概念である。実数体に無限小・無限大を加えたものは体をなし、超実数体と呼ばれる。超実数体は *R, R* などと表記される。その元を超実数という。ただし、無限小や無限大は 1 点ではなく、たとえばある無限小について、それより小さい無限小がいくらでも存在する。無限大に対しても同様。また、一つの超実数の周りには、それと無限に近い超実数が無数に存在する。

超実数は数学的に厳密に構成することができる。しかし、標準的な超実数の構成には数学基礎論の手法が用いられており、ある程度の基礎論に関する知識を要する。超実数の構成は実数の構成によく似ていて、実数からなる数列を新たな数と見なすというものである。

超準解析における超準とは、実数体の超準モデルを用いることからきている。超準解析では、一つの対象に対して二通りのモデルを考える。二通りのモデルのうち、一つのモデルはもう一つのモデルを含むものである。

---

ねえねえあのさー
そういうのって道程の仕事じゃん
それより私友達に京大のテニスサークルで『ＰＯＰＣＯＲＮ』というのに入ろうって誘われています。
正直いい感じのサークルなんでしょうか？？
友達はすごく気に入ってるのでぶっちゃけた話を聞きにくくて・・・悪いうわさを聞いたことがあったので・・・
ＨＰとか持ってるんですかねぇ？？
持っててどなたかアドレス知ってる人いたら教えてください♪

---

以下を読むと面白そうですね。

超準的手法にもとづく確率解析入門
釜江 哲朗 (著) 単行本 (1990/01) 朝倉書店

超準解析と物理学 数理物理シリーズ
中村 徹 (著) 単行本 (1998/06) 日本評論社

超積と超準解析―ノンスタンダード・アナリシス
斎藤 正彦 (著) 単行本 (1987/04) 東京図書

超準解析とファインマン経路積分 数学基礎論シリーズ
中村 徹 (著), 倉田 令二朗 単行本 (1997/09) 河合文化教育研究所

超準解析
M.デービス (著), 難波 完爾

数の体系と超準モデル
田中 一之 (著) 単行本 (2002/04) 裳華房

---

不可説不可説転という単位があります。これで、150億光年を割った時の単位は、何になりますか、おじさんでは分からないので京大生諸氏なら、簡単すぎるかもしれないけど、是非教えて下さい。ここが一番真面目そうだったのでお願いします。

---

集合論の公理（ＺＦＣ）
（１）外延性の公理: 二つの集合が等しいというのとそれぞれの集合に含まれる元が全て等しいというのは同値である。
（２）空集合の公理 : どのような集合も自分の元としない集合 &#8709; が存在する。
（３）対の公理: x, y が集合であるとき、x と y のみを元とする集合が存在する。
（４）合併の公理: A を集合とすると、A の全ての元の合併 B、つまり全ての A の元の元からなるような集合が存在する。
（５）無限集合の公理: 空集合を元とし、またある元 x を含むなら、x ∪ {x} も含むような集合が存在する。
（６）冪集合の公理: どんな集合 X に対しても X の部分集合全てからなるような集合が存在する。
（７）置換公理: 集合による関数の値域は集合である。ただし、ここでの関数とは「どんな a に対しても [ψ(a, y) かつ ψ(a, z) ならば y = z]」となる論理式 ψ(x, y) のことであり、集合として定義される関数のことではない。この公理は、実際には φ をパラメターとする公理図式である。
（８）正則性の公理: X が空集合でなければ、ある X の元 Y があって、X ∩ Y = &#8709;（交わらない）である。
（９）選択公理: X をそのどの元も互いに交わらないような空集合でない集合とするとき、X の各元から一つずつとってきたような集合が存在する。

---

（１０）巨大基数公理：非常に強い性質を持った巨大な無限濃度の存在を仮定する（ゲーデル）

---

連続体問題：
自然数全体の集合の濃度と実数全体の濃度の間に別の濃度があるか
　　　　　　　　　　↓　　　　　
この連続体問題を解決するために、ツェルメロやフレンケルが集合論の公理系 ZFC を作った。
　　　　　　　　　　↓
ゲーデルとコーエンによって、連続体問題は、ZFC だけではどちらとも決められないことが証明されてた
　　　　　　　　　　↓
ゲーデルは、非常に強い性質を持った巨大な無限濃度の存在を仮定する（巨大基数公理）ことで、連続体問題などの独立命題が解決できるだろうと予想した。
　　　　　　　　　　↓
しかし、結局、この予想は正しくなかったが、この思想は、後の研究者達に受け継がれ、実数などについての色々な性質が巨大基数公理から導かれることがわかってきた。

---

うんこ

---

意外と面白いな。疲れてるときの息抜きとか娯楽に最適だな。適度に複雑な数式の展開もまじえてくれれば、いっそう気分転換になったのになー。

---

巨大基数公理の特色

（１）『巨大基数公理が ZFC と矛盾しない』という命題は、『ZFC が無矛盾である』という命題からは導くことができない。

（２）『より大きな基数の公理であればあるほど、無矛盾である』という命題が強いものになっていう。

---

批評とカスウガクの夢のコラボレーションスレはここですｋ

---

無限をうまく定義して理論を一般化できれば、面白い結果は期待できる

---

＞批評
ここにはいない！

---

http://www.kyoto-u.com/lounge/hokubu/html/200510/05100002.html

---