数学について質問です。

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僕は他学部で、数学が専門じゃあないんすけど、数学使ってモデルとか作るんに興味あって、個人的に数学を勉強してるんです。でも非線形の偏微分方程式やら確率微分方程式やらに入ってきたら、よう分からなくなってきて、理解に苦しんでいるわけです。分かったつもりでも、問題が解けんしで、まあ早い話テンパっておるんですわ。そこで、京大のブレインである理学部の方(主に数学を応用方面に使おうと思ってる方）に質問ですが、前述した分野は皆さんにとっちゃ楽勝なんでしょうか？僕の頭がよろしくないんでしょうか？厳密には分かってなくても、何とかやっていけるんでしょうか？それと、何かいい本でもあったら、この若造に一つ教えていただけないでしょうか？？

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人にものを聞く態度に見えません

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どの程度のレベルなんか分からんけど、結構レベル高いなら読んで分かった気になる本ってのはないと思うんで、真面目に書いてる数学書を分かるまで読むしかないでしょう（一冊に一年かかることもあるでしょう）
ま、応用だけできればいいや、的な本はきっと何冊かあると思いますけどね。
ちなみに質問に答えてる僕は解析は不得意なんで僕にとって楽勝かは分かりませんが厳密な教科書を読めばそれなりに分かります。
数学書ってのは慣れるまで大変ですが、慣れると適当に書いてるところが少なくて分かりやすいもんですから。
理学部の全体的な雰囲気で言うと意外にアホが多いんで（僕も含む）厳密にちゃんと分かってる奴は少なかったりします。
って、そんな比較で安心したらあかんと思うけど。
んで、厳密に分からなくてもやっていけてる物理屋さん等などいっぱいいるんで、大丈夫っちゃぁ大丈夫やと思うけど、数学屋さんの僕としてはお勧めできません。

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モデル理論をやりたいのに解析を主に勉強しているのは何故？

数学に関して、分からないという事はありえません。時間をかけて、順をゆっくり追っていけば誰にでも理解できるはず。むしろそれが数学の特性。問題だって2、3時間では解けないこともあるけど、1週間くらい考えつづければ大概解けます。専門外の人には当てはまらない意見かもしれないけど。

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↑に同意ですけど

モデル理論じゃなくて、一般の人が言うところの、「数学的なモデルを作ってそれを解く」って事ちゃうかな？
モデル理論って論理学のんやろ？

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どうも返事ありがとうございます。確かに分からない所にジックリ時間かけるという姿勢に僕は欠けていたような気が大変します。勉強してる数学の理論は僕にとっては土台でありまして、早くその先の専門書に入りたい一心で、数学を甘く見ていたのかもしれません。数学科の方ほど、数学三昧にはなれない状況ですが、これからしっかり数学とお付き合いしていこうと思います。
ちなみに僕は生物屋さんっす。ランダムな事象を解析する必要があるんで、非線形の解析や確率論とかの勉強を主にやっております。

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まず学部一回生でやるような解析や線形代数の基礎ができてないと思われ。

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>ガチャガチャ
頑張ってください。数学屋の友達を作ったら色々話が聞けていいと思うよ。モデルに関しては勘違いしてました・・・。

因みに↑は僕じゃ有りません。

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確率微分方程式、「計算できたら」いいだけなら、
こんな本もあるけど。。。。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4489006594/ref=sr_aps_b_1/249-3648264-7676311

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私も数学が好きで独学を始めたんですが、なかなか書いてある内容が頭に入って来ません。理学部の皆さんは、定理の証明などもがっちり覚えるんですか？

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覚えようとはしない。
でもよくわかってる人なら本に書いてある定理の八割くらいは自分で証明できると思う。

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↑↑
覚えようと思ってるわけじゃないですけど、理解しようと思って読んだら、キーポイントを覚えてしまって、結局証明は覚えてる感じ。
どこがキーポイントか分かればいいんちゃうかな。
証明が本当に理解できてるんやったら問題ないと思うよ。

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ありがとうございます！

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問「有限集合は閉集合であることを示せ」(集合はR^2の部分集合)

証明
∀b∈¬A
∃ε∈Ｒ　st
min(ｄ(a,b))＝2ε(a∈A)
Ｖ_ε(b)⊂¬A
⇒¬Aは開集合
∴Aは閉集合

この証明で、有限集合Ａの元とその補集合¬Aの元の
距離の最小値が　ε＞０　になるというのがイマイチ理解できません。
もしこの最小値がεならば、
境界を含まない円Ｂとその境界Ｃについて、
Ｂの元とＣの元との距離の最小値はε＞０。
よって上の証明と同様にして¬Ｂは開集合、
よってＢは閉集合。
となって、明らかにおかしいです。

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1.ある点b∈¬Aをとってくる.
2.min(a,b) (a∈A)は,Aが有限集合だから必ず存在する.また,b∈¬Aより,min(a,b)>0.
3.したがって,ε<min(a,b)をとれば,V_ε(a)⊂¬A.
4.よって,¬Aは開集合.
何の問題もありませんが.

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じつは書き間違いが多々あるけど,気にしないように.
min(a,b) → min(d(a,b))
V_ε(a) → V_ε(b)
1〜3より任意の点bにおいて¬Aの中に入る開球をとれるから、¬Aは開集合。

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1.ある点b∈¬Aをとってくる.
2.min(d(a,b)) (a∈A)は,Aが有限集合だから必ず存在する.また,b∈¬Aより、min(d(a,b))>0.
3.したがって,ε<min(d(a,b))をとれば、V_ε(b)⊂¬A.
1〜3より任意の点bにおいて¬Aの中に入る開球をとれるから、¬Aは開集合。

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>min(ｄ(a,b))＝2ε(a∈A)
ここで、b∈¬A は固定して考える。
ある b∈¬A に一番近い a∈A を取って来いと言う事だ。

>境界を含まない円Ｂとその境界Ｃについて、
>Ｂの元とＣの元との距離の最小値はε＞０。
違うよ。最小値は無いよ。

ところで、補集合を¬で表すのって普通なの？

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勘違いした。
上のBとCへの指摘は無視してくれ。

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　　　　　　 c
補集合はＡ　　でｃを使う
¬は否定だろう
記号の使い方がおかしいぞ

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>集合に関しての質問 2004/09/21(火) 13:51:12
>距離の最小値が　ε＞０　になるというのがイマイチ理解できません。

bは固定されているので
min(ｄ(a,b))＝2ε　(a∈A)
にて，ε＝0　なら　a＝b　となるa（∈A）があるのだから　a∈Ａ∩¬Ａ
即矛盾。
min　と　inf　の記号を勘違いしているのでは？

わかりやすく有限を意識して書くと
Ａ＝{a1，a2，…，an}　として　¬Ａ∋∀b　に対して
2ε＝min{d(a,a1)，d(a,a2)，…，d(a,an)}
ととればよいのです。
頑張ってくださいねっ！！！

。。。。zzz。。。。

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↑
2ε＝min{d(b,a1)，d(b,a2)，…，d(b,an)}

でした。(^^;)

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>>境界を含まない円Ｂとその境界Ｃについて、
>>Ｂの元とＣの元との距離の最小値はε＞０。
＞違うよ。最小値は無いよ。

この部分が一番なぞなんです。
集合ＡＢを

Ａは原点だけからなる集合（有限集合）
Ｂはxy平面全体から原点を除いた集合（＝¬Ａ）

とすると、
Ｂには原点に無限に近い元が存在するにもかかわらず

　　min(ｄ(a,b))＝2ε

が存在するのに、どうして
円内部の点と、その境界上の点との距離の最小値は存在しないんですか？

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気持ちは分かるんだけどね。とりあえず深呼吸してくれ。
＞1.ある点b∈¬Aをとってくる.
＞ここで、b∈¬A は固定して考える。
＞bは固定されているので
をちゃんと理解して欲しい。

＞まぁ 2004/09/21(火) 20:11:11
やっぱりそうだよね。
高校では￣(バー)を使うけど。

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＞Ｂには原点に無限に近い元が存在するにもかかわらず
＞min(ｄ(a,b))＝2ε
＞が存在する
存在しないよ。何か読み違えてるのでは？

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ｂは固定して考えれば

　　　min(ｄ(a,b))＝2ε

が存在するのはわかります。
しかし、∀b∈Ｂに対して
min(ｄ(a,b))が存在しないと
Ｂが開集合であることは証明できないと思うんですが。

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それぞれのbに対しては、min(d(a,b))は存在します。
min(d(a,b))はbについての関数としてとらえるべき。
あなたが間違っているのは、bが動くときのmin(d(a,b))について考えようとしていることです。いうなれば、min(d(a,b))=f(b)とおくときの、min(f(b))について考えようとしているわけ。

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根本的なこと，考えましょう。
上の議論を忘れて，
2次元での　Disc(x^2＋y^2＜1)　が開集合であることを
示すのにどうしますか？
境界に近い Disc内部の点Ｂを取っても，Ｂの近傍(ε-Open Ball)
つまりε＞0がとれますよね。いくら点Ｂが境界に近くても…。
だから Disc(x^2＋y^2＜1)は開集合なんですよ。　
同じ事で，
>集合の質問（続き） 2004/09/22(水) 18:02:28
さんの例でも
いくら原点Ｏに近い点Ｂをとっても，OBの距離はあり，ε＞0の
Ｂの近傍(ε-Open Ball)がとれるのです。
So　far　OK？

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↑
レス時間早かったのに，後に回っている…

(ToT)

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＞レス時間早かったのに，後に回っている…

ふうん、、そういうこともあるのか、、

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「集合の質問（続き）」さんも，一度にたくさんの情報がはいると大変でしょうから，
僕の方はしばらく「見守っている者」になります。
hogeさんよろしくお願いします。

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あ、なんか指名されてる。
下手に書くと混乱するかな。
理解できない原因は、全称記号のスコープを勘違いしているとでも言えばいいんだろうか。
¬Aが開集合
⇔∀b∈¬A ∃ε∈R st V_ε(b)⊂¬A
なのだが、これは
「∀b∈¬A 「∃ε∈R st V_ε(b)⊂¬A」」
ということなのは分かる？

＞来た白川追分ちゃん
ぜーんぜん関係ないんですけど、数理解析研究所の本当の住所は北白川追分町ではなく北白川西町らしいです。

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ＨＰでは以下だが

京都大学 数理解析研究所
606-8502 京都市左京区北白川追分町
FAX: 075-753-7276

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証明の原文でｍｉｎの意味を詳しく書かかないから混乱するのでは？
もいちど証明を清書してみます。

Ａを（R^2内の）有限集合とする。
∀b∈¬Aについて...
　　bと Ａの元ａと の距離ｄ（ａ，ｂ）を考えると、
　　Ａが有限であるから、ａ∈Aの範囲でｄ（ａ，ｂ）の最小値が存在する。
　　ａ≠ｂより、ｍｉｎ［a∈A］ｄ（ａ，ｂ）≠０ すなわち＞０。
　　この値より小さい正数εをとれば、bのε近傍Ｖε（ｂ）にＡの元は含まれず、
Ｖε(b)⊂¬A。
すなわち¬Aは開集合である。
よってAは閉集合である。

「Ａが有限だから正の最小距離が存在」という、この証明のキモが見えていれば、
>>境界を含まない円Ｂとその境界Ｃについて
の議論は出てこないでしょう。
ａ∈Bのとき本題と状況が異なるのは、距離のｍｉｎが存在しないからではない。
距離のｉｎｆが0なので、これより小さいεがとれない事が問題です。
実際ｂ∈¬（Ｂ∪Ｃ）では、（ｍｉｎは存在しないが）ｉｎｆが＞０なので、
¬（Ｂ∪Ｃ）内にｂの近傍をとることができます。

>>Ａは原点だけからなる集合
の議論では、Ａが一点であるため、かえって「ａがＡ内を動くときの最小値」が
考えにくくなり、ついｂが動いてしまったのではないでしょうか。

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「有限集合は閉集合である」はもっと弱い位相でも成り立つので、
そもそも距離は使わない方が良いのでは？
「Ａが閉集合≡Ａの集積点はＡに属する」を示して、
「有限集合には集積点がない」でどうでしょう。
少し長くなるけれども。

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min、infを考えるより先に、きちんと開集合・閉集合の定義が理解できているか？を考えるべきでしょう。
　開集合の定義は「集合のどのような点に対してもそのε近傍がその集合に含まれるように、εを決めてやることができる」
　閉集合の定義は「補集合ガ開集合である集合」で、「その集合の集積点をすべて含むような集合」と同値。

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近傍系から開集合を定義してもよいのですが、
開集合族から位相空間を定義する方が一般的では？
いずれにしろ、ε近傍という概念は距離空間に依存してしまいます。

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＞ε近傍という概念は距離空間に依存してしまいます
もちろんその通りなんだけど、ここでの質問を読む限りでは、位相の問題と言うより、ε‐δ的な定義に慣れてないようなのでそちらの定義を挙げたまでです。
　∀とか∃とかの意味をきちんとつかむ必要があるのです。

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みなさんご親切にホントにありがとうございます。
bを固定して min[a∈A]ｄ(a,b) を考える、
という操作を各々のbについて行うと考えると確かに全部納得です。

＞hoge 2004/09/22(水) 22:12:50
＞「∀b∈¬A 「∃ε∈R st V_ε(b)⊂¬A」」
集合のどのような点に対しても
そのε近傍がその集合に含まれるように、
εを決めてやることができる、
ってことですよね。(モロこぴぺですが)

＞位相
位相って何？
っていう状態なので、もう少し勉強してから出直してきます。

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【見守っていた者】
よかったぁ。おめでとうございます。
これを機会に数学好きになって下さいね。
今度は アドバイスする立場になっちゃいましょう。

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納得できたみたいでよかったですね。
関係ないですが、納得できた時の感覚って気持ちいいですよね。それがあるから数学にはまっていくのかも・・・・（*￣0￣*）

位相については「集合と位相」という講義があるのでそちらをどうぞ。（今年はもう終わってしまいましたが・・・）

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>J.C.　さん
そうですね、学問全般にそうでしょうが特に数学って，すっごい難しいのが解けたときの喜びって大きいですよね。僕も「距離空間」から「位相空間」への移行が自分の中でイメージ的にうまくいかなくて，悩んでたらある時イッキに解決して，うれしかった経験があります。その喜びで一日は何もできなかったくらいです。
アルキメデスが裸で街中を走ったってのがわかりますね。（僕の体験はスケールはチッチャイですけど）

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＞来た白川追分ちゃん さん
　一日は何もできなかった、ですか。すごいですね。僕の経験はせいぜい３０分といったところですか。（長さ比べても仕方ないんですけど。）
　僕は２回なんで、ちょうど今その辺で頭を悩ませています。ほかにも頭悩ますことは一杯あって、多次元の陰函数定理のイメージとか、テンソルってなにもんやねーん、とか。
　そういう「いったいなにもんやねん」ていう問いにストレートに答えてくれる講義ってないですよね。まぁ、その辺が大学の講義たるゆえんで、自分で掴まんかい！というところなんでしょうけれど・・・

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物理をかじってみるのがいいと思う。

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図示できませんかね

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