無限のお話〜２編目

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前スレ
http://www.kyoto-u.com/lounge/hokubu/html/200308/03080004.html

みんなの知っている無限の話や疑問に思っている無限の話をしよう

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ジェロム=キースラーは、微積分の展開に最低限必要な前提を単純な公理としてまとめることに成功する。

R はアルキメデス順序体である。
R* は R の真拡大順序体である。
任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。
任意の n 変数関数 f に対し、f の自然延長とよばれる n 変数超実関数 f* が対応する。特に、R* の体演算は R の体演算の自然延長である。
ふたつの式系がちょうど同じ実解を持つならば、それはちょうど同じ超実解を持つ。
もうひとつの同値な公理系がある。

R は完備順序体である。
R* は R の真拡大順序体である。
任意の n 変数実関数 f に対し、f の自然延長と呼ばれる n 変数超実関数 f* が応じる。特に、R* の体演算は R の体演算の自然延長である。
二つの式系がちょうど同じ実解をもつならば、それらはちょうど同じ超実解を持つ。
ここで変数 x1, ..., xn を含む式系 S の超実解とは、n 個の超実数の組 <c1, ..., cn> で、S の式に現われるあらゆる関数の自然延長をとり、各変数 xi に ci を代入して得られた式の両辺が定義されて、しかも全ての式が真となることである。

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超準解析（nonstandard analysis：ＮＳＡと略）は、１９６０年ごろに、 Abraham Robinson が、数理論理学の応用として、創始した。それからまもなく、Robinson が訪日し、講演をした。竹内外史氏は東大の大学院の講義の一部分でＮＳＡを紹介し、また、関連論文を著した。日本語の本としては、「線形位相空間と一般関数」（山中健著、１９６６）の付録および「超準解析」（斉藤正彦著、１９７６）がでた。Peter Roquette の来日を機会に、故河田敬義氏主催で、京大の数研で研究集会が開かれた。この後ほぼ毎年ＮＳＡ研究会が開かれるようになった。

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超準解析における∞ は以下の公理で定義する。
　　　∃∞∀n∈N (n < ∞)
つまり、「いかなる自然数 n よりも大きい ∞ というものが存在する」を意味する。 その逆数は無限小 infinitesimal であり、超準解析ではそれは 0 ではない ! どんな標準実数よりも小さい正の数である。

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参考文献
田中一之編・監訳 The Mathematical Intelligencer 誌より「数学の基礎をめぐる論争」シュプリンガー・フェアラーク東京

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日本ではかなり早い時期に、森毅氏と東大の同期？の倉田令二朗が超準解析に興味を持っていたというのは聞いたことありますが、
斉藤正彦さんは倉田さんの影響を受けて、超準解析を研究して、当時の定番の教科書を書いたようです。

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http://www.jca.apc.org/beheiren/162KurataReijirounokai.htm
倉田令二朗さんをしのぶ会のご案内（01/10/01掲載）
発起人
　　、森毅（京都大）、安本雅洋(名古屋大)、

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http://academy4.2ch.net/test/read.cgi/philo/1127033882/l50

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レベルがゴミ過ぎる。ここの前スレ(最後のほうの荒らしは無死)を100回読んでから出直して来い。

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１９６３年、スタンフォード大学のポール・コーエンにより考案されたのが強制法である。
強制法とは、仮説の集合が、二つのうち一つの値を取るよう強制する方法である。
はじめに集合の集まりと、それらの集合に適用される論理規定を設定し、その論理規則が適用できるようにしつつ、その集合の集まりをどんどん大きくしてゆく。その大きくなった論理系の内部で仮説を操作するとこにより、連続体仮説は集合論の公理系（ＺＦ＋選択公理）とは完全に独立であることを証明した。
現在の公理系の内部では、連続体仮説は証明も反証も出来ないということが示され、結果は謎のまま残された。

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直観的な無限大・無限小の概念はあるが、現代的な実数論には直接的には存在しない。これらはε-δ 論法によって量的に扱われるている。

ここで、
無限大 ：∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0のように表記していた） いかなる数よりも（その絶対値が）大きな数と取られることもある記号、もしくは拡張された数。
無限小 (infinitesimal)： いかなる数よりも（その絶対値が）小さな数ととられることもある記号あるいは拡張された数。

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超実数論あるいは無限小解析などにおいては、無限大・無限小は数学的に定式化され、その存在を肯定される。

ここで、
無限遠点 (∞)： ユークリッド空間で平行に走る線が、交差するとされる空間外の点あるいは拡張された空間における無限の地点。無限遠点を含む空間は非ユークリッド空間である。
無限集合： 有限集合（その要素の数が有限である集合）でない集合。
無限小数： その小数表示が有限の桁ではない数。
無限列： 数（あるいは点などの要素）に番号をつけて無限に並べたもの、つまり長さが無限の数列、点列など。

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超実数（ちょうじっすう）は実数を拡張した数概念である。実数体に無限小・無限大を加えたものは体をなし、超実数体と呼ばれる。超実数体は *R, R* などと表記される。その元を超実数という。
ただし、無限小や無限大は 1 点ではなく、たとえばある無限小について、それより小さい無限小がいくらでも存在する。無限大に対しても同様。また、一つの超実数の周りには、それと無限に近い超実数が無数に存在する。

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＞↑ 2003/08/12(火) 01:22:55
＞たぶん、“∞”の厳密な定義は必要ないんとちゃうかな？
そのとおり。
1860年代のカール・ワイエルシュトラスが完成させた、誰でもが知っているε-δ 論法は、無限小や無限大という概念を一切出さずに収束・連続を議論できるようにしたものだ！

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＞↑ 2003/08/12(火) 01:22:55
＞確かに、カケルさんのように「無限大という数を新たに定義する」というのも一案やと思うけどね。
そのとおり。
超実数やその上の関数について研究する解析学である、超準解析がまさにそれだ！

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＞たぶん 2003/08/11(月) 23:38:39
＞数学で「無限」とは、って定義しないですよね。
＞まあ、アレクサンドロフの無限遠点とかありますが、
アレクサンドロフの一点コンパクト化。

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ツェルメロ・フレンケル集合論とツェルメロ集合論の間には、以下のような大きな違いがある．
（1）ツェルメロ集合論は，集合形成を可能にする体系であり，そのため幾何学的考察に適切である．
（2）ツェルメロ・フレンケル集合論は，これに加えて再帰的定義，つまり未知のものに構造を組み込むこと，を可能にする．この要素は，数学の算術的側面に適している．

　直線上にある等間隔の点，という整数の幾何学的理解は，すべての自然数は同等の資格をもつことを示唆する．ラッセル流にいえば，すべてみな同じタイプなわけである．
一方、算術的理解では，0が最も単純な自然数であり，より大きな正の整数は，より小さなものから生成され，そのためより複雑であることになる．その結果，いかなる２つの自然数も，同じタイプになることはない．これら２つの直観の一方を他方に従属させようとすると，そのいずれにも不当な暴力をおよぼすことになる．

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一番下のだけは哲屑だとすぐわかる中身のなさ
暴力ワロスｗｗｗｗ

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ZFCが数学を基礎付ける出発点であると今日のロジシャンたちは考える．しかし，現場の数学者の殆どはこの公理系を使っていないのだ．彼らはまずツェルメロ・フレンケルの公理が何か言えないだろうし，とくにツェルメロ・フレンケルとツェルメロの違いを知らないだろう．そして，もしこれらの違いを知ったら，より単純でしかも普通の数学には十分なツェルメロの公理系を彼らは選ぶと思う．フレンケルの名が足された体系（スコーレムにも負う）には，置換公理が付加されるが，それは大きな順序数や基数などドレイク氏の興味対象を扱うために必要なだけである．（中略）ツェルメロの公理をさらに弱めるようなことは，ロジシャンによって無視されてきた基礎に関する真の問題例であろう．
(マックレーン)

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コピペ厨はまとめてどっか逝きなさい

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無限の話はだいたいケリがついただろう

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＞マックレーン
カテゴリーの創始者

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＞ツェルメロの公理をさらに弱めるようなことは，
＞ロジシャンによって無視されてきた基礎に関する真の問題例であろう．

そういうことを考えてる人も結構居るよ。
例えばKripke-Platekの集合論とかはそういうもの。
cf. "Admissible sets and structures" Jon Barwise
それとか、ちょっと弱すぎるかも知れないけどBoolosのgeneral set theoryとか。
http://en.wikipedia.org/wiki/General_set_theory

或る意味では高階の論理学がちょうど弱い集合論に当たるとも言える。

ところでNSA研究会ってまだ開催されてるんだっけ？

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＞NSA研究会
たぶん０５年が最後？
それ用の研究集会をやる意味があるほど
超準解析研究者が日本にいるとは思えないですね。

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ジョンは、無限に増えてしまった栗饅頭を食べるために、一時的に体を無数に分割したが、後に無限大の●●●に埋もれて死んだ。

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