現役京大生が解決　数学編

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さっ、どうぞどうぞ。

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１＋１＝２を証明して下さい。

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１の次に大きい整数は２である
１に１をたすと１より大きい数になる
しかし、３より小さいのは明らか
整数に整数を足すと整数となる
よって２となる

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ちゃんと代数的に証明すべきだ．

整数全体は普通の演算で環になる．
すなわち，i)和に関して郡になり，ii)積に関して閉じていて，分配法則が成り立つ．
i)より整数全体は単位元を持ち，n+e=n(nは任意の整数)が成り立つようなeがある．もちろんe=0．
ii)に関して，整数全体には単位元がある．すなわち，ne'=n(nは任意の整数)となるようなe'がある．もちろんe'=1とおけばよい．
一方環の単位元は存在すれば一意である．(∵e・e'=e=e')．したがって0=e=e'=1を得る．
以上で準備ができた．1+1=0+0=0=0×2=1×2=2．q.e.d.

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大学の数学はこんなんですからよく見ておくように受験生諸君。

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初めて「さすが」と思いますた

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こんなんできるのは、一部の理学部生だけだから。
安心しな。

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和に関して郡→和に関して群
　　　　　　　・　　　　　　　　　・
まあ、物理でも化学でも群は出てくるからね。

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合ってるのか？

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合ってるわけないやろ・・・
積の単位元１と和の単位元０を区別してないやん。
つーか、ネタやからどうでもいいけど、こんなしょうもないこと
数学専門でもしないからね（＾＾；）
数理論理学とか数学基礎論とかではするけど。

大体証明せよ、って・・・
命題のステイトメントがきちんとできてないのにできるわけがない。
いや、ネタなんでどうでもいいんですが。

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＞↑はおかしい
すごいな、君。普通こんなDQN解答書けないよ。０＝１って…。
「１＋１＝２」を証明なんて無理だよ。定義式そのままだもの。

受験生はいないの？

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１＋１＝１＊２＝２

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上の証明はでっち上げもいいとこ。
いや、「当たり前に思えることを小難しく理屈っぽく書いて、"それっぽく"見せるのが大学の数学である」という命題を皮肉を込めて証明したかったのかも知れない。

問題は、「一般に"自然数"と呼ばれているような数の集合が実際に存在するのか」という点に集約されます。

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まず、以下のような集合Ｎを考えます。（このＮは直感的な自然数の性質を過不足なく満たしている点が重要。）

１．集合Ｎは１（と呼ばれる元）を含む。
２．写像φ：Ｎ→Ｎが存在する。
３．任意のｎ∈Ｎに対して、φ(ｎ)≠１。
４．φ(ｍ)＝φ(ｎ)（ｍ,ｎ∈Ｎ）ならば、ｍ＝ｎ。
５．Ｎの部分集合Ｍで、「１∈Ｍ」かつ「ｎ∈Ｍ⇒φ(ｎ)∈Ｍ」を満たすならばＮ＝Ｍ

これはペアノの公理系と呼ばれるもので、日本語に和訳すると以下のような意味です。

１．その集合Ｎは１を含んでいる。
２．集合Ｎの元にたとえば「１を足す」という操作が定義でき、その結果がまたＮの元になるようにできる。
３．Ｎのどの元に１を足しても、その答えは１にはならない。
４．１を足した結果が同じなら、もとの数も同じである。
５．Ｎの部分集合で、１を含み、どの元に１を足してもその部分集合から出ないようなものがあれば、その集合はＮに等しい。

これでもまだ分かりにくいのでさらに和訳（意訳？）すると以下のような意味です。

１．集合Ｎの中には、まず最低限、１というスタートの数がある。
２．各数に「１を足す」という計算ができる。（しかもその答えは、もとの数に対して一通りに決まる。）
３．どの元に１を足しても、１に戻ってくることはない。
４．異なる数に１を足した答えが同じになることはない。（つまり、Ｎの元は全部を一列に並べることができ、その数列が途中で一定値になって止まったりしない。）
５．Ｎの中に、Ｎと同じ性質を満たす小さな集合は含まれていない。

この５つを満たす集合Ｎが存在すれば、
「Ｎには１が含まれ、それに１を足すという計算ができるので、１＋１という式が意味を持ち、かつその答えはＮの中に一つだけある。」というところまで分かります。その答えを「２」と書けばよい。（別に「３」と書いても「４」と書いても「乙」と書いても「☆」と書いても何の違いもない点に注意。単に「１より１だけ大きい数が一つある。その数を２と書くことにしよう。」ってだけ。）

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これで「１＋１＝２」の説明はだいたい終わったわけですが、上で書いた性質を使えば、「２＋１＝３」になることなども自動的に分かり、よく知られた「自然数」の世界が出来上がります。（この場合ももちろん、「３」というのは単なる記号であって、「三」と書いても「※」と書いても問題ない。）

で、問題は上のような性質を持つ集合が実際に存在するのか、ということです。それはまったく明らかではないことです。
そこでペアノは「集合Ｎが存在する」ことを公理として仮定したわけです。「存在するかどうか分からないけど、存在することにしてしまえ」というわけです。
で、自然数の存在が仮定されてしまえば、そこから有理数を構成したり実数を構成したりして、よく知られた「数」の世界が出来上がります。

ところで、世の中にはくどい数学者がいたもので、「集合Ｎの存在を公理として仮定せずに、そのような集合を自分の手で作ってやろう」とした人がいました。
それがいわゆる「ＺＦ（ツェルメロ・フランケル）の公理系」と呼ばれるもので、この公理系では形式論理しか仮定しません。形式論理ってのは「¬¬Ｐ＝Ｐ（否定の否定はもと通り）」とかいう、論理学で使われる一連の論理記述のこと。
このような純粋に論理学的な推論だけ（数も集合も存在しない世界からスタート）で、まず「この世には"空集合φ"というものが存在するはずである」ということが示されます。そしてそのφを使って上で書いた集合Ｎを"実際に作る"ことができます。

ですから、「１＋１＝２を証明しろ」と言われたら、流れとしてはこうです。
「論理学的な推論によって空集合の存在を示す」
「空集合から上で書いた集合Ｎを構成する」
「集合Ｎの性質により"１＋１＝"の答えが存在することが分かる」
「その答えを２と書くことにする。」

もしくは、
「ペアノの公理系により、自然数の存在は認められているので、自然数の性質により１＋１＝２である」
と片づけるか。

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先ほども書いたように、「１＋１」の答えを「２」と書くのは恣意的なものであって、「１よりも１だけ大きい数が一つだけ確かに存在する」ということこそが本質です。

あと補足ですが、途中から写像φが「１を足す」という操作に変わっていますが、分かりやすくするためにそう書いただけで、「１を足す」という日本語も恣意的なものです。別にこれを「半分に割る」と書いても「皮をむく」と書いても「頭をなでる」と書いても何も変わりません。ＮからＮへの写像であることが本質です。
１という元の頭をなでなでした結果、別の元に移されるのならそれでもいいのです。
ちなみに「大きい数」という言葉や「＋」「＝」と言った記号も恣意的です。分かりやすくするためにそう書いただけです。

最後に断っておきますが、私もかじった程度の理解なので、勘違いがあるかも知れません。しかし大筋はあっていると思います。

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＞ファイアーベントさん
お疲れ（＾＾；）
＞、「当たり前に思えることを小難しく理屈っぽく書いて、
＞"それっぽく"見せるのが大学の数学である」
まぁ、少なくとも↑こんなことは大学数学でしたいことではないんで気にしないで
理学部数学系に来ましょう、受験生のみなさん。
逆にまじめに普通の数学やってればこういう事は当たり前と思えるようになりますし。
まぁ、こんな事ばっかりやってもいいわけですけど。
その場合は理学部より文学部か総人に行きましょう

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ちょっと今ネットで調べてみたら、ＺＦの公理系については色々と間違っているようです。ごめんなさい。勉強不足でした。たぶんペアノの公理系についても色々と間違っているでしょう。

（たまに）北部人さんのおっしゃっている通り、普通は「数学基礎論」とか「数理論理学」に分類される内容です。たま〜に、集合論の本にも載っています。
私は岩波基礎講座（旧版の青くまとめられているやつ）の集合論の巻で、上の事柄をかじりました。
総人の図書館にもあるので、誰か勉強して教えて下さい。

でもここは受験生向けの掲示板でしたね。
「理学部数学科でやっていくなら、こんな感じ」だと感じていただければ十分でしょう。
以前、数学科の友人とＺＦの公理系について話をしたところ、「いちいちこんなめんどくさいことはしなくていいけど、説明しろと言われたらできるようにしておいた方がいいんじゃない」と言っていました。

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＞（たまに）北部人さん
私はどんなネタにも命がけでマジレスするのが信条です。（笑）

上の説明で、受験生に「数学」の雰囲気は伝わるのではないでしょうか。
「当たり前だと思っていたことが実は全然当たり前じゃなかった」ということに感動できる人には数学科はお勧めですね。
まあどの学部でも学問を本気でやれば常識が覆されるのは必至ですが。

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＞「理学部数学科でやっていくなら、こんな感じ」だと感じていただければ十分でしょう。
その感じだけは個人的にホントにやめて欲しい（＾＾；）
考え方は人それぞれなんでそう感じる人がいてもよいのですが、
こんな面白くない（これも個人的な感想ですが）イメージを受験生はもたないで欲しい。
こんなのは神経質な人が自分の精神衛生のためにやってるだけの話なんで。
もっと普通の数学やってればそのうち
「説明しろと言われたらできるよう」な実力はつきますが、
説明しろと言われることもありません（＾＾；）
間違えてもこんなちまちましたのが「大学の数学」などと思わないようにして下さい。
間違いなくもっと面白いですから（責任は取れません）

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いや、ほんとにただの個人的な意見で
マジレスにケチをつけてるわけではないのですが
この場合結局
「当たり前だと思ってたことは（証明はめんどいが）当たり前だった」
わけで、そういうことに感動できる人は少ないと思いますよ（＾＾；）
むしろ
「想像もしなかったことが成り立ってしまう」
ことが多いのが数学の世界ですから。
（元の想像力に依存しますが）

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集合位相はどうやって勉強したんですか？
読んだ本があれば教えてください

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おそらく大学の教科書になっているであろう
ショウカボウ（←漢字覚えてない）「集合と位相」
ですよ。

抽象概念への第1歩ですし、頑張って下さいね。
ちなみになんかここは受験生向けなんで質問があれば、↓にもどうぞ。
http://jbbs.shitaraba.com/bbs/read.cgi/school/1893/1082992703/
と宣伝してみたりする（＾＾；）

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私工学部なので授業受けてないもので・・
ショウカボウってちょっと敷居高そうだけどルネで見てみます。

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ハードカバーじゃないですし、そんなに敷居は高くないけど、
工学部向け（応用目的？）にはできてませんね。
経済向けの位相の話は見たことあるんやけど。
他にも何種類かあると思うのですが、これ以外読んだことないので
おすすめ、というわけではありません（＾＾；）

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＞（たまに）北部人さん
「普通の数学」ってどんなんですか。ちょっと知りたい。
っていうか、「普通」って何。

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＞ファイアーベントさん
この場合は単に、理学部数学系のカリキュラムの中の数学という意味です。
ペアノの公理などはおそらく一般教養の論理学などの
授業を受けない限り勉強する事がないし
僕の頭の中ではあまりメジャーな数学ではない、という感じがあります（完全に主観です）
僕の言葉の使い方が悪かったのですが、単にそれだけの意味です。

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>おそらく大学の教科書になっているであろう
>ショウカボウ（←漢字覚えてない）「集合と位相」
>ですよ。
あの本わかりにくくないですか？松坂和夫「集合・位相入門」の方が好きですねえ、個人的には。
あと、気づきにくいけどコルモゴロフ・フォミーン「函数解析の基礎」の上巻も結構便利だし、位相だけだったら松本幸夫「トポロジー入門」の前半もいいですよ。

＞ペアノの公理などはおそらく一般教養の論理学などの
＞授業を受けない限り勉強する事がないし
一部の集合・位相や代数の本（例えば、松坂和夫「代数系入門）には載ってますよ。もっとも、森毅氏に言わせると、Peanoの公理は「集合論以前」の定式化なので、集合論を使いつつPeanoの公理を教えるのはおかしいらしいですが。ようわかりません(^^;

ちなみに、（たまに）北部人って専門は何なのですか？
解析か、代数か、幾何かぐらいでいいので教えて下さいませ☆

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＞総人の図書館にもあるので、誰か勉強して教えて下さい。
最近、東大出版から出た齋藤正彦「数学の基礎　集合・数・位相」なんかが一番わかりやすいんじゃない？まあ、入門書にはきつすぎるし、松坂和夫のパクリ本的な要素も強いけどさ。。。。

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↑↑
そうなんですか？
僕あのショウカボウの奴しか読んでないんで、助かりました（＾＾；）
ペアノの公理も僕のには載ってなかったと思いますし。
（もしかしたら付録ぐらいにはあったかも）
まず、集合が何なのか、というのは結構あいまいですし集合論以前なんでしょうね。
（いや、何言ってるのかよく分かりませんが）

僕の専門は一応代数ですよ。

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（たまに）北部人さんあんたかつて２ちゃんの数学板に
よくいましたね。ここにも昔からいますね。

グロタンディックが何をした人なのか教えてください。
特にトポスって何ですか？

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ん？いませんよ？？？
グロタンディックは代数幾何の基礎（？）作りに励んだ人でしょう・・・
って知ってて聞いてます？
トポスて何でしたっけ？聞いたことあるようなないような
・・・調べます（＾＾；）
http://en.wikipedia.org/wiki/Topos
http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html
こんなんでました。
うーん、正直すぐ分かりませんけど、グロタンディークに関係するところで言えば
位相空間上のpresheaf(or sheaf)の圏が重要なんじゃないでしょうか。
このトポスというものの一般論でどういうことが分かってるのかは分かりません。
（下のHPには書いてそうな感じですが読んでません）

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あ、上側のＨＰのＨｉｓｔｏｒｙのところにそんな感じのことが書いてますね。
sheafの一般化だと。
とにかくグロタンディークの哲学が分かるほど優秀ではないですから（＾＾；）

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トポスとはある種の条件を満たすカテゴリーのことです。

詳しくは以下を読んでください。
Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk, Sheves in Geometry and Logic---A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Springer-Verlag, 1992

また日本語ではいかがありますが、、
竹内外史, 層・圏・トポス---現代的集合像を求めて, 日本評論社, 1978

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＞（たまに）北部人さん
私が「数学ってこういう感じ」って書いたのは、もう少し抽象的な意味で、
たとえば、演算を写像で定式化したり、「距離」「面積」とかいった直観的な概念を抽象化したりとか、そういうことなんですけど、そのへんはどうなんでしょうか。

個人的には、整数環・多項式環という直観的に知っている概念から、ユークリッド環、ＵＦＤ、ＰＩＤ、局所環、付置環、デデキント環などと抽象化する過程に感動を覚えたりしたのですが。
そういうのが数学の面白さだと思っていましたが・・・。

＞最近、東大出版から出た齋藤正彦「数学の基礎　集合・数・位相」なんかが一番わかりやすいんじゃない？
えっと、あの本ってＺＦの公理系から書いてありましたっけ？確か書いてなかったような・・・。

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＞まず、集合が何なのか、というのは結構あいまいですし集合論以前なんでしょうね。
一応、公理的集合論ってやつがあって「以下の公理を満たすものを集合という」とかなってますね。
まあ、集合の定義を覚えても面白いことは少しもないなあってのが、幾何やってる私の感想です。

ところで、代数専門でしたよね？ホモロジー代数なんかでカテゴリーとか出てきませんでした？そこで公理的集合論を一度覗く必要が出てくる気がするんですが。。。。

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＞＞最近、東大出版から出た齋藤正彦「数学の基礎　集合・数・位相」なんかが一番わかりやすいんじゃない？
＞えっと、あの本ってＺＦの公理系から書いてありましたっけ？確か書いてなかったような・・・。
付録に書いてあったと思いますよ。

＞個人的には、整数環・多項式環という直観的に知っている概念から、ユークリッド環、ＵＦＤ、ＰＩＤ、局所環、付置環、デデキント環などと抽象化する過程に感動を覚えたりしたのですが。
割と珍しい人ですね。１回生や２回生が物珍しさでそういうことを言ってるのはよく見ますが、それだけ知識があって言うのだから、何か信念なんでしょう。そういう考え方って私には新鮮なので、よければもう少し語ってもらえませんか。

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＞ファイアーベントさん
数学系じゃないのによく知ってますね。
＞私が「数学ってこういう感じ」って書いたのは、もう少し抽象的な意味で、
＞たとえば、演算を写像で定式化したり、「距離」「面積」とかいった
＞直観的な概念を抽象化したりとか、そういうことなんですけど、
＞そのへんはどうなんでしょうか。
なるほど、そういう意味ですか。
確かにそこは結構一般受けする大学数学の面白さだと思います。
（他にも色々面白いところはあるんだと思います）
僕も面白いと思います。
ただ、公理化というのは言い方が悪いですが、僕が感じるのは非常に後ろ向きで
それが正しいからといって新しいことを生み出す（かもしれないけど）わけでなく
「あぁ、よかった」
と安心するためのものです（多分）
抽象化（とは何かははっきりしないが、ＵＦＤなどの例で）はある性質だけを
取り出してそこだけを一般化して考えることで個別の環などについて考える手間を省けるし
とにかく公理化に比べ前向きだと感じます。
「１＋１＝２」の話を僕が高校生のときに聞いたら、
「なんでこんなしょうもない事を勉強せなあかんねん」
となりますし、
あの例（１＋１＝２）ではイメージが悪いと思ったのです。
＞演算が写像で定式化する
という考えはそ中でも大事だし、それが理解できると面白いところではありますね。
そこは見逃してました。
n+m=（φのm回合成）(n)=（φのn回合成）(m)が一致することを示すとか。
少し違いますが、整数（の集合Ｚ）の足し算とは
Z×Z→Z　(x,y)→x+y
という写像と理解するとか。
もしかしたら気に障ったかも知れませんが、単に僕が公理化が嫌いというだけです（＾＾；）

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↑↑↑
カテゴリー論もホモロジー代数も完全に道具としてしか使っていませんから（＾＾；）
一応見たことはあるのですが、すぐに必要なとこに飛びました（＾＾；）

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（たまに）北部人さんは博士後期の学生さんですか

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斉藤氏の本は東大出版のくろピンクのやつですね。
ますます敷居が高そうだ・・・笑

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↑↑
そんなの内緒です（＾＾；）

＞みなさん
何に必要なのかで大分違うと思うのですが、
東大出版のはそこまで敷居が高くない印象がありますよ。
（その本は知らないのですが、他の本を見てると）
確かにハードカバーで見た目ごついですけどきっちり学ぶ必要があるなら
今出てきた本のどれかをじっくり読まないといけないのかな、と思います。

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>斉藤氏の本は東大出版のくろピンクのやつですね。
>ますます敷居が高そうだ・・・笑

この本、僕も持ってますよ
数学の基礎を復習するのは、いい本ですよ

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＞東大出版のはそこまで敷居が高くない印象がありますよ。
一度勉強した人にとってはそうでしょう。
ただ、初学者にとっては「詰め込みすぎ」の印象があります。
証明はきちんと書いてあっても、集合とか位相とかがそもそも「なにごと」であるかということをきちんと書いていくれているかがいささか心許ない。その点、松坂本なんかには譲ると思います。大した内容でもないことを難しく書きすぎてる裳華房の本よりはいいと思うけど。

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大学でやる「数学」ってこういう世界なんですね。とてもついてかれへんけど、
なんていうか、かっこいい。。。。

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↑↑
いや、集合・位相の奴は裳華房しかよんでないんですよ（＾＾；）
多様体とか整数論から推察するに結構読みやすいかと思って（他のに比べて）
裳華房のってそんな評価悪かったんですか、知らなかったなぁ・・・

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＞裳華房のってそんな評価悪かったんですか、知らなかったなぁ・・・
裳華房のを読んでも全然わからなかったが松坂和夫を読めばすぐにわかったという人が何人もいますよ。
ちなみに、東大出版の多様体は嫌いな人も多いみたいです。
もっと好き嫌いが分かれるのが、かの「解析入門」であることはいうまでもないでしょう(^^;)

ちなみに、共立「21世紀の数学」講座の「距離空間と位相構造」も微妙にマニアックで面白いです。パラコンパクト空間とか書いてあります(^^;)

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最近、数学系の復刊多いですね。
やっぱり、名著は永遠なれですかねえ、

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数学基礎論と他の純粋数学は位置づけ違いますね。
数学基礎論は他の数学の証明とか形式化の基盤を
与えてる。
数学基礎論って、数学やコンピュータなどの根源的な基礎理論のように思えます。

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>数学基礎論と他の純粋数学は位置づけ違いますね。

そうかなあ？数学基礎論以外の数学をやるにもlogicやcategoryは重要だと思うけど。モデル理論は代数幾何に応用されてるし、categoryは代数幾何や微分幾何で使われまくってるし。基礎論を疎かにしてはいけないかと。私見だけど。

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↑　同感ですけど、、
研究の対象というべき方向は違いますよね

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＞裳華房のを読んでも全然わからなかったが松坂和夫を読めばすぐにわかったという人が何人もいますよ。
＞ちなみに、東大出版の多様体は嫌いな人も多いみたいです。
そうなんですか。
基礎辺りではあまり色々な読んでないから本を薦めるのは無理ですね（＾＾；）
多様体は裳華房ので勉強したんですが、あとで東大出版のを見ると
内容が少なくて読みやすい気がしたんですよね。

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松坂氏のは古くて読みにくそうだと偏見がありましたがどうやらそれが今でも最も読みやすい集合位相のホンのうちのひとつなようですね。

集合位相が何に必要か？ということすらも分からないのですが、数学の基礎論は自分の世の中への見方というか認識の根本にかかわってきそうなのでちょっと勉強してみようというだけです。
逆に（数理系ではない）工学部で集合位相がどうしても必要ってどんなときでしょうね？とこちらが聞きたいくらいなレベルです・・

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集合はすべての数学の基礎であることはみんなが認めるところです。
よくわかりませんが、位相は集合の距離を測る道具では、、
だから集合位相とペアになって数学の基礎、基本概念では、、

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おい、受験生がみんなひいてるじゃないか！

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去年、安田亨さんの入試数学伝説の良門100ってのが出版されたけど、いい本だよ。
入試数学の解法が学べる本。
俺も高校で大数の学コンとかやってたけど、この本読んでたら、もっと高得点あげれたよ。

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確かに受験生は引いてそう・・・（＾＾；）
アホな質問をした奴のせいやけど・・・。
まぁとにかく質問に答えるスレなんで。
どうぞ使って下さい。

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たぶん京大志望の学生からしたら、
たまにさんの書きこみはかっこいいんじゃないの、マジで。

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すまんね．変な書き込みしたせいで．もうレス半分超えてるし．
とはいえファイアアーベントさんのレスで数学基礎論の世界に少し触れることができました．感謝してます．

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↑↑
まぁ、僕よりはファイアーベイントさんがかっこいいかと（＾＾；）

↑
ネタに食いついてしまいました（＾＾；）

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（たまに）北部人先生とファイヤアーベント先生のやりとりはかっこよかったです。
またそういうの待ってます。
１＋１＝２は、りんごやみかんのように目に見える物でならすぐわかるのに、
証明とはこういうふうなんですね。
（小学生レベルのレスでした、すみません）

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↑
>（小学生レベルのレスでした、すみません）
　　　　　　　　　　 ‥‥
間違えました。レスではないです、感想でした。

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受験数学は定理を組み合わせて使うとか、計算技術とかのテクニックに偏りすぎているように思えます。
微積分は特にその傾向強い。
整数などは論理的思考力を問える問題が作れる。

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＞１＋１＝２は、りんごやみかんのように目に見える物でならすぐわかるのに、
＞証明とはこういうふうなんですね。
いや、実際問題、（たまに）北部人さんがおっしゃったように、通常はりんごやみかんのように当たり前だと思っていいと思いますよ。上で書いたようなのはいわば「正当化」であって、「証明」とは言えません。
言ってしまえば、私が書いたことは（間違いだらけで申し訳ないですが）、「１＋１＝２を証明して下さい」とネタで書き込んで茶化そうとした人に対して、数学の知恵の深遠さを見せつける説教みたいなものです。

＞整数などは論理的思考力を問える問題が作れる。
しかし入試問題でそういう問題をたま〜に出したからと言って、それが高校以下の数学教育を規定しないので意味がないのです。
最近の受験生は「そういう問題は捨てればよい」で終わりだから。そう教える教師や受験指南書があるからだが。

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＞最近の受験生は「そういう問題は捨てればよい」で終わりだから。そう教える教師や受験指南書があるからだが。

僕は受験数学に詳しくないので、そういう実情知りません。
じゃ、受験は完全にテクニックの領域ですね。

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点数を取りたいだけならテクニックだけで結構（合格点は）取れると思いますよ。

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テクニック以上のものを持って大学入っても、
必ずしも役立つとは限らないし・・・

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何に役に立つの？
生活とか就職？
大学で学ぶことでそんなのに直接役立つことなんてほとんどないし（＾＾；）

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挨拶のしかたとか飲み会での振舞い方でも
教えたほうがよっぽど役に立つ罠。
しかし大学とはそういう場ではない(はず)。

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大学は　自分で考えれるようになる　場だよ

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身につけるぐらいなら、
ちょっとでもマシな外見・しゃべりができるようにした方が、
よっぽど身のためだと思う。

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学者を育てたいなら、テクニック以上の素養がある人間が必要になる縄。

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学生がそれを望んでなきゃ意味ないし。
今時、理学部以外じゃそんなのなりたいやつは、
天然記念物級でしょう。

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理学部以外でも５％ぐらいいるんじゃないの、、
理学部でもなれる人は5%-10%かなあ

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リスクを考えると、高校時代、学力に余裕あるなら、
京大の人から見ると低学歴系とか言われそうな、
そういう系のバイトでもやった方が有意義。
勉強なんて、大学卒業できる程度できりゃいいし。

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何でもリスクありますから、、

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勉強ばっかやると、シャレにならんぐらいに、
つぶし効かんからね。
ヤッてばっかりの方がまだ潰し効くと思うよ。
俺は無理だけどね。

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勉強ばっかしは体もたんでしょ
やってばっかしも体きついし、精神もたないでしょ
やりすぎは精神むしばみます

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精神むしばんでみたいわ。やるほうで。
勉強でももちろんないけど。

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やりすぎは、なんか女に対する感覚がおかしくなりますよ
何事も中庸でしょ

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理学部で世界最先端の研究者になるような奴と
そのへんのテニサーと４年間でどれくらい能力差がつくんだろうな。
それでも同じ京大卒か。。

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人間と非人間でしょ
前者は有名大学教授。
後者は中小企業の部長か、大企業の課長。
卒業後の頑張りがすべてでしょ。
後者でも大金持ちになれる可能性ありますから
生きる道が全然違いますよ

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安田亨さんの入試数学伝説の良門100はテクニック＋α学べる良い本ですよ。

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　/　　／　 ／　　 ＼ |￣
　|　 /　　　,（・）　（・） |
　 (6　　　　　　 つ　　|
　 |　　　　　　＿＿_　 |　　 ／￣￣￣￣￣￣￣
　 | 　　　　 /＿＿/ ／　 <　高校受験の範囲内でレスしろよ、ボケ！！
／|　　　　　　　　 ／＼　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿

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大学への数学はすごくいいよ

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次の問題に答えてください。
「三人の囚人A、B、Cが収監されている。
判決によってこのうち2人が死刑になることが確定している。
あるとき囚人の一人Aは事情を知る看守に、誰が死刑になるのか聞いたところ
一言だけ『Cは死刑になる』と応えた。
これにAは喜んだ。なぜならこれで死刑になる確率が
3分の2から2分の1に減ったと考えたからである。
ところがこの考え方は間違っている。このことを説明しなさい」
というものです。これが分かりません。
死刑になる確率は(看守は嘘を言っていません）2分の1で
合ってるんじゃないですか？

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その聞き方だと2分の1でもよいのですが、
（つまり「Ａが死刑になる」と言われる可能性もあったと考えた場合）
多分
＞Aは事情を知る看守に、誰が死刑になるのか聞いたところ
は「自分以外の誰が死刑になるか、を適当にランダムで応えて」
と解釈してほしかったんだと思います。
事象Ｘ：「Ｃは死刑になる」と応えた。
事象Ｙ：Ａが死刑になる
として、P_X(Y)は2/3です。

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ベクトル空間はイメージできるのですが、
双対ベクトル空間がイメージできません。
どうイメージしたらよいのでしょうか？

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単に元のベクトル空間と同じイメージでいいと思います。
（だって、元のベクトル空間Ｖの次元をnとしたら、
Ｖ＝Ｖ＾＊＝ｋ＾ｎ　ですから（＝は同型））
元のベクトル空間Ｖと双対Ｖ＾＊の関係も含めてイメージする
方法は僕は知りません。

ベクトル空間ぐらいなら3次元までの延長でイメージできますが、
もっとイメージしにくいものもあるわけで、とりあえず定義を
暗記して理解すればだんだんイメージできるんじゃないかな。

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双対空間の一番安直なイメージは、「行ベクトルの空間」です。
つまり、もとの空間を「列ベクトルの空間」と思えば、そこから実数への線形写像の全体は「行ベクトル」になります。

他にもう少し具体的な例は、量子力学のケット空間とブラ空間とか、多様体の接ベクトル空間と微分形式の空間とかですね。といっても、そんな概念を知ってる人なら、双対空間ぐらいクリアーしてるでしょうけど…。

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ども。前問を出したものですが。
ということはやっぱり条件付確率ということなんでしょうか。
すると似たような次の問題で引っかかることがあるのですが。

「あるクイズ番組で、優勝した解答者が最後に
賞金ダブルアップチャンスに挑戦することになった。
やり方は、司会者が提示した３つの箱のうち１つを選ぶというもの。
このうち１つだけがアタリで、あとの２つはハズレである。
解答者はまずこれだと思う箱を１つ選ぶ。
すると司会者は(どの箱がアタリかを知っているので）１つのハズレ空箱を空けて見せる。
つまりこれでアタリの確率は２分の１になる。
そしてこの下で、解答者はどの箱を選ぶかの最終判断を迫られる。

さて、解答者はこのとき、最初に選んだ箱のままにした方がいいのか。
それとも変えたほうがいいのか。あるいは関係ないのか」
この解答は実は「変えたほうがよい」らしいのですが。
この説明はどうなるんでしょうか？

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その選んだ箱の確率は1/3のままですが
（これは先の問題でＡの死刑の確率が2/3のままと同じこと）
もう1つの残された箱の確率は1/3から2/3に上がるので
（これは先の問題でＢの死刑の確率が1/3に減るのと同じこと）
変えた方がよい。

どちらも直感的に分からなければ
解答者はＡを選ぶことにして
司会者はＣが空箱であることを見せたことにしましょう。
つまり条件の事象が
Ｘ：司会者がＣを選ぶ（当然Ｃは空箱でないとダメ）
P(X)=（Ａが当りの場合）＋（Ｂが当りの場合）
=1/3*1/2+1/3*1=1/2
この上で
Ｙ：Ａが当り
Ｚ：Ｂが当り
とすると、P(X\cup Y)=1/3*1/2
P(X\cup Z)=1/3
だから、あとは条件付確率の式より。

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ぶっちゃけ大学入試数学は才能なんて一つもいらんよ。いかに問題を解いてルール（処理や設置のやり方）を知っていくかそれだけ、あとはそれらの組み合わせ。

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関数ｆ(x)＝x^2−2において、曲線y＝f(x)上の点(x<n>，f(xn))における接線がｘ軸と交わる点のｘ座標をx<n+1>とする。x<1>＝2とし、このようにして、x<1>から順にx<2>，x<3>，x<4>・・・をつくる。このとき、limx<n>n→∞を求めよ。　　　　　　　　　　　っていう問題なんですけど、どなたか教えていただけませんか？ニュートン法で解くっていうのは分かるんですけど、そこから進まなくて・・・(涙)パソコンなんで、ちょっと問題が分かりにくいかもしれませんが、よろしくお願いします☆　　

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ニュートン法で解くんじゃなくて、ニュートン法の証明ですよ。当然√2に収束します。
まぁ教科書そのままというか、大学受験問題というか、懐かしい。
x<n+1>=x<n>/2+1/x<n>
なんであとは適当にx<n+1>-√2とx<n)-√2の比を考えれば終わりかな。
平均値の定理を使うとかね。
使わなくてもいけそうやけど、x<n> >√2を示さんとあかんかな。

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あ、というか、ニュートン法は使っていいのかな？
んじゃ、使えるか確認すれば答えはそのまま√2？？
まぁ、問題の聞き方によりますね。

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おぉっ！なるほど！！さすがですね☆もういちどやってみます♪でも、なんで当然√２に収束するって断言できるんですか？

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あぁっ！！分かりました☆ありがとうございま〜す♪また分からないことがあれば聞くので、ヨロシクお願いします。

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ニュートン法はf(x)=0の解を近似する方法ですよ・・・（汗）
接線を実際一杯書いてみたらそうなりそうでしょ？
その直感がある条件（凸性、単調性）では正しいというのがニュートン法です。
だからこの場合x<100>ぐらいを地道に計算すれば√2の近似値が得られるという点で
まぁ実用的というか、なんというか。

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１００！

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