この問題解けますか？

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f(x)=sinx+cos√2xが周期関数でないことを示せ。
(√の中身は2です。）

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(背理法)　f(x)が周期関数だとして、その周期をT(!=0)とおくと、周期性から、f(x+T)=f(x)...(*)が任意のxに対して成り立たなければならない。(*)がxに関する恒等式であるという性質から、T=0という必要性が生じる。これが仮定と矛盾することから、fが周期関数でないことが示される。

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方針→周期Tを持つとして矛盾を示す．

a=√2とおく．
とりあえずf(x+T)=f(x)を計算して
r sin(x+θ)=r' sin(ax+φ)の形にする．
これは恒等式で，左辺は周期2π，右辺は周期(2π/a)．
従って2π(1-1/a)も周期．1-1/a≒0.29．
2π(1-3(1-1/a))も周期．1-3(1-1/a)≒0.121．
以下同様にしていくらでも周期を短くできる．
従って両辺とも定数でなければいけない．故にr=r'=0．
r，r'は具体的に計算できてそれぞれsin(T/2)，sin(aT/2)となる．
後はaが無理数であることから明らか．

・・・あまり高校生にええ問題とちゃうね．
連続でなければ，周期全体の集合が点0に集積し，
しかも定数でない関数なんていくらでもあるから．

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ような問題は乙会じゃないかな。

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方針→周期Tを持つとして矛盾を示す．

a=√2とおく．
とりあえずf(x+T)=f(x)を計算して
r cos(x+T/2)=r' sin(ax+aT/2) ・・・(*)　
これは恒等式なので、x=π/2-T/2のときも成り立つ。
これを(*)に代入すると
0=sin(aπ/2)
よって aπ/2=nπ（nは整数）⇔a=2n
これはaが無理数であることに矛盾する。

というのではどうでしょうか？

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nは整数。
f(x)=0を満たすとき、
sin(x)=-cos(√2x)=-sin(√2x+π/2)=sin(√2x-π/2)
なので、x=√2x-π/2+2nπ ∴x=-(1+√2)(2n-1/2)πを得る。
したがって、f(x)の周期は存在するとすれば(1+√2)2nでなければならないが、n!=0とすると、
f(0)=1,f((1+√2)2n)=√2sin(2n√2π+π/4)!=1
となるので、f(x)に周期は存在しない。

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おかしくないですか？
(*)に代入すると、
0=sin(aπ/2)sin(ac/2)
となるので、aπ/2=nπとは言えないですよね？

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f(x)=0と考えていいのですか？

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eの（xの2乗）乗　ってどうやって積分するんすか？

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eの(xの2乗)×eの(xの2乗)=eの(2×xの2乗)
になるのでは？
（x：エックス）と（×：かける）が紛らわしかったらごめん。

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・・・おいおい・・・微分してみろよ。

まともには積分できないと思われます。

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ついでに
定積分ならできる方法は何個かあります。

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e^(x^2)は直接積分できなくても
e^(x^2+y^2)なら積分できるんよね。
ポイントは極座標変換だっ！！

ああ、１回生の頃が懐かしい…

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>f(x)=0と考えていいのですか？
どうしても疑問に感じるならf(x)=0を満たすxが実際に存在することを示せばよいわけで、それはすなわち代入すればよいのです。
同値変換なわけだから、代入せずとも十分ですが。

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数学コンプレックスさんのは↑↑さんの言うように結論を焦りすぎです。
aπ/2=nπ だとおかしいので　r'=0　でTの条件が出て
んでそこからさらに矛盾を示せばできます。

計算は間違ってるかもね、さんの解等は
＞f((1+√2)2n)=√2sin(2n√2π+π/4)!=1
の1つ目の項でπが必要でしょう（その前の行でも周期にπが抜けてます）
その後はあってるので単に抜けてるだけですが。
でも最後の！１を示すためには厳密には有理数無理数を持ち出さないとダメですね。

こんな先生ちっくな言い方してるのに間違ってたらごめんなさい（＾＾；）
ぱっと見ただけなんで・・・

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